CHAPITRE VI

Mettant au lieu des premiers membres les valeurs qu'ils obtiennent par le développement en série et l'application de la formule (k’), on aura

a, rÿ + (na, n) = (a, n)+(n— a, n} = -#— 08 ae ; (v) (a, n}+(n—a,nf= (34 5 006 20)

Ces formules serviront à établir entre les diverses quantités (a, n}", qui répondent à une même valeur de », toutes les relations qu'on peut obtenir par d’autres voies, et qui sont données sous diverses formes dans les ouvrages d’Euler. C’est ce que nous allons développer dans deux exemples.

36. Soit nr —6 et m = 2, on aura l'équation générale (a,n) +(6—a,6=

in° aæ ?

d’où l’on déduit successivement

sin w GE + (4,6) =), (u’) (3,6) +(,6)= ou en substituant la valeur w — É ;

La somme de ces équations est mm iNe 35 je GC —x)S = 267 d’où l’on déduit S, = ?x°, ce qui est un résultat connu; mais la démonstration qu’on en donne ici n’en est pas moins remarquable. Outre cette valeur deS, , on connaît (3,6) =;5 #”, (6,6) = % Sr": mais les quatre autres quantités (1,6), (2,6), (4,6)°; (5,6)° ne peuvent être déterminées par les équations précédentes.

306 . INTÉGRALES EULÉRIENNES, Observons cependant que puisqu’on a (26) = + +£ + F + + etc., il en résulte (2,6) = :( + 7 + = + - + ec. )= 7 (1,6) + 7 (46) :

donc les quatre quantités dont il s’agit peuvent être déterminées au moyen de l’une d’entre elles, par exemple, au moyen de (1,6), de la manière suivante :

a = TT +3 (A6 = La ir | (u') (56) = mn —ÿ

37. Quant à la valeur absolue de £, elle n’est déterminable exactement par aucune formule connue; mais on peut en trouver une valeur aussi approchée qu’on voudra par la méthode qu'Euler a donnée (Calc. diff., pag. 451.)

Pour cela ayant fait

1 1 à 1 ent DENT Dal rer (a+ nx)"?

on trouve en général = " 1 I I A'n B'n° Cents Ge — Chap Ÿ Chap C'n5 D'n’ — Gt) Ÿ G+Fnÿ

— etc.,

A’, B', C', D’, etc. étant la suite des nombres Bernoulliens.

Il résulte de cette formule que la somme de la suite prolongée à Pinfini étant désignée par (a, x), on a (a, n}'=C; donc réciproquement on a ‘

‘= Be

(a, n) TS ie 2° (a+nx}) Thin __Bn C'n° F GET) — etc. (x')

On sait que la suite A’, B', C, D" est divergente à compter du troisième terme , et le devient plus que toute progression géométrique donnée; d’où