CHAPITRE I

il suit que la suite contenue dans la formule (x’) deviendra nécessaire ment divergente après un certain nombre de termes. Mais ce qui est fort remarquable, c’est que cette formule n’en est pas moins propre à donner la valeur de (a, n}° avec tout le degré d’approximation qu’ou peut désirer.

Pour cela il faut donner à x une valeur arbitraire d’autant plus grande qu'on voudra obtenir une plus grande approximation (la valeur x = 10 suffit pour donner 18 ou 20 décimales exactes). Au moyen de cette valeur, on commencera par prendre la somme effective de la suite

s —= " + aEÿ + ere LEE s G+F sn)?

substituant cette valeur de s ainsi que celle de x dans l'équation (x), on aura pour la valeur de (a, 7)" une suite d’abord très convergente , mais dont la convergence diminuera de plus en plus, jusqu’à un certain terme aù elle deviendra divergente, et cette divergence augmenterait de plus en plus à linfini.

Par le calcul des termes successifs, on obtiendra des résultats alternativement plus grands et plus petits que la valeur cherchée, et on devra s'arrêter aux termes où cesse la convergence.

Ces termes indiqueront deux limites fort rapprochées, entre lesquelles se trouve nécessairement la valeur de (a, n)*.

Si ces deux limites ne donnaient pas encore une approximation suffsante, il ne resterait d'autre parti à prendre que de recommencer un nouveau calcul en donnant à æ une valeur plus grande, Mais, pour l’ordinaire, une valeur médiocrement grande de x donnera une très grande approximation.

Nous donnerons ci-après un exemple du calcul de ces sortes de suites qu’on peut appeler suites demi-convergentes.

38. Soit maintenant m—=3 et n=—6G, nous aurons l'équation générale

“sin ae ?

d’où l’on déduit les deux suivantes :

(16) — (56) = US on 1/3

Er ; ( 1) (6) — (46 = EE = fe d

D'ailleurs on a (6,6) = 8 Ss et

(1,6) + (2,6) + (3,6) +(4,6) + (5,6) = 2 Ss.

396 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Ces équations sont insuflisantes pour déterminer toutes les inconnues ; mais les diviseurs de G qui sont 2 et 3, en fournissent de nouvelles. On a en effet,

GP (+++ jatete.)=g (1,6) 4 (4,6)1, GP = +artg tes ete.) = (1,6) + (3,6) + (5,6)7; de là on voit que les cinq quantités (1,6), (2,6), (5,6)°, (4,6), (5,6) se

détermineront en supposant connue l’une d’entre elles. Ainsi en faisant (1,6) =E£, on aura

(1,6) EE. fa (2,6) = = (E es sa):

(3,6) = “ (£ — 20°y3), (4,6) = = (E — re ; (G,6) = E — ju 3.

La somme de ces quantités doit être égale à £ $,, ainsi on aura

215 215 430 ee Ss = Te Fr d 3,

tt

ou 6 3 S = PE — PE a V3.

Réciproquement on peut exprimer toutes les quantités (1,6), (2,6)°, etc., au moyen deS, et de w = & et on trouve (1,6ÿ = ve Ss + 20° 3 (2,6) LE Ss + ce v3 (3,6)

(5,6Ÿ = a Sy — 20 y/3

59. On déduirait aisément des équations (q”) les autres propriétés