CHAPITRE 1V

connues des quantités (a, 2)", c’est-à-dire des suites qui résultent de la décomposition de la suite générale

Sn = tata tats+ elc. ,

en prenant les termes de trois en trois, de quatre en quatre, ou en général de # en n. On trouverait, par exemple, que la suite

1 1 1 I — 3 F ge — 7n + etc.

est sommable lorsque # est impair, et qu’elle ne l'est pas lorsque m est

pair.

On trouverait au contraire que la suite

I +++ + etc.

est sommable lorsque m est pair, et qu’elle ne l’est pas lorsque me est impair. Le mot sommable est ici entendu non dans un sens absolu, mais relativement aux méthodes connues jusqu’à présent.

Ces choses n’ayant point de difficulté, et ayant d’ailleurs été démontrées par d’autres voies, nous ne nous y arréterons pas davantage. Nous ferons voir seulement comment on peut trouver, par des suites qui soient convergentes dans toute leur étendue, les valeurs des quantités £ et S, qui sont restées inconnues dans les art, 36 et 38; recherche plus difficile qu’elle ne paraît au premier coup d'œil, parce qu’en suivant les méthodes qui ‘se présentent naturellement, on retombe sur la mênie difficulté qu’on voulait résoudre.

40. Pour obtenir d’abord la valeur de S;, j'observe sa peut sup poser

(1,6) = hr log* y | (2,6) == NEA «log

(3,6) = > Ca. log r .

; (a”) 448) = : fE. ET + 7.

G,6ÿ = ! AE toy |

GO = ; [alor re.

400 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

car les seconds membres élant intégrés depuis y =0 jusqu'a y =1, au moyen de la formule (4), ces équations deviennent identiques.

Or, d’après les équations (7’), on a (1,6) — (5,6) == JE dos" r = 43,

(26) — (46)=2 [IX à dog =

Ces deux équations ajoutées ensemble, puis soustraites l’une de autre, donnent les deux suivantes :

jé joe V3 ve 4 PPT IAeTS

dy ogy = 40 y3 — fa __ 32° 4/3

++ Mie 9 ”

de sorte qu’on a entre ces intégrales le RS rn très RL

SE = FE 1+y 17

mais cette formule est susceptible d’être généralisée ainsi :

__2"+ 1 dylog”y "” SEE 2" FE: (b") — [dog y dylog" Pa fe à Qu fs

L — f rdy logy 3 P— Q) = 1+5 +9 mettant dans cette dernière y3 au lieu de 7 ; il viendra

CA EONE CM

En effet, soit

on aura

et par conséquent P — Et Q.

Par la combinaison des équations (a”), et la substitution des valeurs données par les équations (z’), on obtient

GO + (6 = PRE = Hs, + Éay/5, GB, 6) + (6,67 = fa Es,

Soustrayant la seconde de la première, on aura