CHAPITRE IV. 4o1 1 + y) dy log'y fs, Le s

RE EXETUS +3 sd dt d’ailleurs on a déjà trouvé dy log'y "y = ire TZ El aidé

donc en éliminant «*, on aura

+ 5) dy log'y " Se = far baes (2

C’est de cette formule que nous allons tirer la valeur de S,. 41. Je remarque d’abord qu’on peut faire

Cyr + 3) dy log'y dy " Gi — y) dy log' ïé ++" =f + 7%: TT JE +n G Sin

La première partie Ier log* 7=2(: —3+p—ptec)=2S(1—$ = :S;

donc on aura dos (1 —7) y logy 165 rie +HDG+r +9:

soit ÿ = : È = et la transformée sera 11 2d£ B=/ 55 log formule qui doit toujours être intégrée depuis z = 0 jusqu’à 3 = 1. On voit nue que comme z* est toujours plus petit que 1, on.

Tor

pourra réduire -—— en une série convergente, de sorte que l'intégrale ne

3+ Fe dépendra plus que de termes de la forme /2*"+:dz log* y. Mais, pour rendre la série encore plus convergente, je fais 3° = 1 —u, et j'ai

DS [ps lo8 rs ’ intégrale qui doit être encore prise depuis u=0 jusqu’à u= 1. Cette intégrale étant prise par parties, devient

—; log (1 — 7). log” 7 + [Per : og: — = 7); la première prete s’évanouit aux deux limites de l'intégrale; ainsi on a sim-

plement

4o2 INTÉGRALES EULÉRIENNES, Reefmt 7

Développant log ( 1 — 7) substituant la valeur Fa = — ee. on aura PI 06 + :

gsm fn CRE Tes pH pee).

Soit donc J ét; =, à [eds log > = P', ; fudz log > = P",

: elc.,

ces intégrales étant prises ‘depuis 3=0 sl à 2= 1, et on aura

SP +=. Fi. F Hip tee

42. ‘Pour avoir ‘maintenant les quantités pe, P', P”, etc., j'observe qu'on

a en général DR SES mn pe A fu"ds log = log > Jude +f. funds Dans cette formule, nous supposerons que lintégrale fu“ds est prise de manière qu’elle s’évanouisse lorsque 3=—1 ou u—0o, alors la partie

log - L . s'évanouit aux deux limites de l'intégrale, et on a simple-

1 te -

frs: à (puma = f—Sfuvas,

où l’on voit que les logarithmes ont entièrement disparu, et qu'on ne doit plus teñir corpte que de à relation = 1— 2%, On a d’ailleurs :

IL ds TE fete:

multipliant ‘depart et d’autre par à La et intégrant, on aura

D == a—1) Panel 7: 2 ei € sr re 1 | ere 5

Re

Or, = — Siudu, ét par conséquent

Ge BAT 1274: tds) je fat) Ce fe etes DT Fe ps = D PTE 0e M M

CHAPITRE HI. . 403 cette intégrale devant être prise depuis 2 0 jusqu’à 2= 1, elle se réduit

à — = pr ; donc on aura Cu) — 7 Gui) 1 P = 1 P 22m + 1) La première valeur

paf de fée)=f li +s)= 0h;

donc on aura successivement

Pe = log 2,

3 ne 1 Re au n 4 Fr .: 1 nr Le

P" — : P" LE 5 etc.

Au moyen de cette loi très simple, on calculera aisément les différens termes de la suite décroissante P°, P’, É P'",etc. Ensuite on aura S; par la forinule SR (PH Fe ete.);

ce qui donne une approximation très rapide, puisque chaque terme est moindre que le quart du précédent. -

En calculant cette suite jusqu’ au terme P"' inclusivement , on trouve Sy= 1.2020567. Euler a trouvé par la méthode dont nous avons parlé, et en poussant l'approximation beaucoup plus loin,

(Voyez Calc. diff, page 453.) 43. Pour trouver par des procédés semblables la valeur de la transcendante Ÿ, demeurée inconnue dans les équations (v/), j'observe qu’on a

Le Y=f+ lg >=; (2,6) = 2%, ar HE APE (= [ÈS gi om — pe,

(Cv LORS (5,6) = Em € es F2

4o{ INTÉGRALES EULÉRIENNES, de là je tire

ÿ ‘06 (1,6) + (2, 6) —(4, 6) — (5,6) ven = rt— a"; donc dy log > :

+ tout se réduit donc à trouver la valeur de cette intégrale.

Si on fait successivement y = ; (1 —u),y= 2 (1 + u), et qu’on ajoute les deux transformées prises positivement, on aura

mg

7 log © 2 du ] +) Dr 7 LE 7 À CET nouvelle sed qui doit encore être prise depuis u=0 jusqu’à u = 1. La première partie de cette —.

du log 4 u "RES "3 V2) log 4. arc lang v3’

et en faisant u = 1, elle se réduit à

L'autre partie

d [08 (Gi — 0) étant appelée T, on aura par le développement de la fraction, du 0] { 6 I =f + (: — 5 +5 — 7 -tetc.) log (1 — ut):

or, en intégrant par parties, on a .

[—u du log (1 —w) = Le log (1 —u°) + [= 2

et puisque la quantité (1 — +!) log (1 — u) s'évanouit aux deux limites . de l'intégrale , on a simplement

Jeter x 2 udu

1— pers du = Toners 1— 1" du — +) Développant la quantité sous le signe et intégrant depuis u=0 jusqu'àu=1r,

LL pet