CHAPITRE VII

Des Intégrales Eulériennes de la seconde espèce.

44. Coxsmménons maintenant l'intégrale fx" dx (log=), que nous supposerons toujours prise entre les limites x = 0, x = 1. On a d’abord, en intégrant par parties, far de (EY = EE) +2 2 arr ( ;

et comme la partie hors du signe s’évanouit aux deux limites, pourvu qu’on suppose 7 > 0,0 aura alors

Sa" dx (1082) = = fa" dx (1og=) | (aæ) et en général, si # est un nombre entier positif,

[a*-"dx (log N'a ee? (€)

.- ... ” — . : ss — : — 19 Lorsque # ne sera pas un nombre entier, l'intégrale fx"-—"dx (log 1)

sera en général une transcendante dont il convient d'examiner les propriétés, |

Et d’abord, au moyen de la formule (æ&), on pourra toujours ramener celle transcendante au cas où Pexposant # est compris entre o et

De plus, j'observe que sans rien diminuer de la généralité du calcul ,

on peut faire m==1 ; car la formule f’ am dx (og 2) étant proposée, si on fait x"=z, cette formule deviendra 5 fdz (log DE

45. Cela posé, il suffira de considérer l'intégrale f dx (log: À ; dans

laquelle nous supposerons que 4 est positif et plus petit que l'unité. Cette quantité étant simplement fonction de &, nous la désignerons par T (a) et nous ferons

T'(a)= fdx (log 1). (»)

L'objet des recherches suivantes est d'évaluer la fonction T'(a), lorsque a est une fraction rationnelle donnée, telle que +, %, ?, elc., et nous nous proposons particulièrement de comparer entre elles les fonctions qui

répondent à des valeurs de a de même dénomination , telles que F (), r (2), etc. Enfin nous chercherons aussi à déterminer par approximation

la transcendante T(a) pour toute valeur de a rationnelle ou irrationnelle.

46, En prenant les intégrales depuis x 0 jusqu'à xæ= 1, et supposant m1, on a cette formule de réduction,

fx rdx(s — at} = (m — 1) faax (a yes ;

a+ (n—31) d’où il suit que si # est un entier”, on aura exaetement | pere fe-de(1 — x}: … 1.2.3....(m—1%

data +26....a 4 (m— 1X Désignons par ® (æ, m) l'intégrale fxr'dx (1—x€)"—", prise depuis x =0 jusqu'à æ = 1, et dans l’hy pothèse que + est un entier positif, on aura donc |

CHAPITRE VIL . 407 1.2.3...(m—1) a+ 6G.a+26.. a+(m—1)6— = qu © (2, mi).

Dans cette équation, mettons successivement A» et (A + 1)m à la place de m, nous aurons

1.2.3....AM — 1 s tH+G.ahae...... a+ (am—1)6 = Le .0(: Am), 1,2,3....Am mt (a, int)

a HC.a+as...æ— (am Em—1)6 = rs

Divisant la seconde par la premiére, et faisant pour abrèg der, a Am6=a',

il vient d'a +C.a +2 C....d'pm 1.6 6 — En, é(a, am) Dm. >xm h1.am+ 2... am mi "œ(z, am 4m}

mais en mettant æ'’ à la place de & dans l'équation primitive, on a

1:2,3,:..72—1 TR RL ===, < à æ À 6, d'+C.a + 20... + 7 sc ee (æ-Am6 , m),

et multipliant ces deux équations entse elles, on a pour produit

1.2.3....m—r je Px,am).®(akame, me, m) AUTE DE À Leo à UT HIT en 1 O(a;am em)

Le premier membre, en vertu de l’équation primitive, peut être représenté par fam—1dæ(1—x)"""; et parce qu’on peut mettre z* à la place de æ, sans changer les limites de l'intégrale, il peut être aussi représenté par 2. ff æmm-1dx (1 — x*)*—"; donc on a ss pme np De, 4m). (a ame, mm)

Cette équation ainsi exprimée par un nombre fini de termes, acquiert une plus grande généralité, ét ne suppose plus que # est un nombre entier.

En eflet, les deux membres devant se réduire à une même fonction de m et de Am, laquelle est

1 ms | Li M], Mm—3 1

am ÈS mnt 1,2 An + 2

on est maître de donner à met À des valeurs positiv res quelconques, et à plus forte raison aux quantités «, 6, n, qui disparaissent dans les deux membres.

47. Soit donc #=1 ét €: si un infiniment petit, on aura 1—2x = 6 log - =) et D(a, m)= eee (1) 1:3

408 INTÉGRALES EULÉRIENNES, de sorte qu’on aura en général

Da, k) = 61 ,T (k).

Au moyen de cette formule, l'équation (d') devient

= 1 —T(am). r (m nf xvmn ‘dx ( I —x")" = em), Soit maintenant m—= 1, am=? 5; On aura donc

… "®r® fe'dx (a — x") — nT nr (EX) La Le premier membre n’est autre chose que la transcendante désignée ci-des- . sus par Œ); ainsi on aura cette équation remarquable P g (= a r (Er) F) r(£ ) Es Ge) D'où l’on voit que la transcendante () serait connue, si on connaissait, pour la même valeur de n, les fonctions de la forme T ©), a étant entier.

48. Il résulte d’abord de cette valeur de @®). qu’on peut échanger entre

eux les nombres p et q, et qu’ainsi on a Œ = (2), ce qui est une des principales propriétés de ces fonctions.

De plus, on tire de cette formule

rQrOrO Dans le second membre, il est visible que FE des nombres p, g, r, peu-

vent être échangés à volonté, ce qui donne le théorème fondamental contenu dans l’équation (e),

P\ fPHg\N fr fP+ @®.( r )=(®).( q 7)»

dont on a ainsi une nouvelle démonstration très simple. 49. Faisons voir maintenant comment les fonctions T se déterminent au

moyen des fonctions G) supposées connues pour une même valeur de n. Observons d’abord qu’au moyen de l’équation (æ), on a en général

CHAPITRE VII. 409 T(a+1)= ar (a), (&) ce qui permettra de réduire les cas où a est plus grand que l'unité à ceux où il est plus petit.

Si l’on a a = 1 , alors T (a) se réduit à fdx =x=—1;ainsiona T(1) = Le (») Cela posé, faisons g9=n—p dans l'équation (e), alors la valeur du premier membre est connue, et on a | Or)

sin HA M CPS ou en d’autres termes,

T(a) T(i—a)= (8) Lorsque a =, on a (Ta) =#; donc TE)=vr. | (:)

L'équation (8), très remarquable dans sue théorie, fait voir qu’il suffit de connaître la valeur de T (x) depuis =; jusqu’à æ = 1, et on en déduira les autres valeurs de cette fonction depuis æ=+ jusqu'a x = 0. Au reste, la valeur de T (x) depuis x=+ jusqu'à æ=1, ne varie qu’entre les limites + et 1, ou 1,77245 et 1, tandis que depuis += + jusqu’à æ= 0, elle varie depuis 1,77245 jusqu’à l'infini; et en particulier lorsque a est infiniment petit, la formule (8) donne T(a)= =

__ $5o. Si dans l'équation (£) on fait p=1, et qu’on prenne successivement g=1,2,3.... jusqu'à z—1, on aura cette suite d'équations :

C)= ee

Os) G= De MR

io INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

Multipliant les a— 1 premières ‘équations entre elles , on aura le produit

(y CHRONO ee eo

sion les multiplie toutes, ou qu ’on see a=n, le produit donnera

LOUER OMOË On]

Soit donc pour abréger

T=ÿ[C. QE @) G)- ve. ).

r()= nr. : H”

Cotinaissant CO) on en déduira r(?) par léquation déjà trouvée qui

ne POtn) Op do Re.

Et comme les quantités QG) (©); G) etc. sont censées connues pour chaque valeur de », il ne reste plus rien à désirer pour la détermination des fonctions r (£ 2). | :

Ces formules font voir que tonte fonction r(s ) où = est sad. peut

se déterminer en général par quadrature des Me algébriques; mais ce moyen de solution ne s'applique avec succès que dans le petit nombre de

cas où nous avons fait voir que les intégrales & PF) relatives à un même nom-

et on aura

bre #, peuvent s "exprimer par les fonctions élhptiques. 51. Réciproquement, si on connaissait la valeur de T (x) pour toute valeur rationnelle de x, moindré l'unité, il serait facile de déterminer

l'intégrale (£ »; car On a en général

a er

CHAPITRE VX. 411 et s'il arrive que p+ g soit > #, on changera, d'aprés l'équation (£), cette

formule en celle-ci (?) = e @) r (2) —— 1 @+g—nr (EI) Nous remarquerons que ces formules sont propres à dopuer l’expression générale de (E)au moyen des quantités de la même espèce (= ), (: ), (2), etc.

En eflet, les valeurs de T (£ ), r (2), r(i +4) étant tirées de la formule (x), on en déduira

D DEC) Gr) | MG) (G) de

formule qui servira tant que p + q sera plus petit que 7. Sionap+g>n,il faudra faire usage de Ja seconde formule , qui donnera par de sernblsbies substitütions,

= —— Jos) sisi ) g/ p+g—u AR LR

Ces formules répondent aux équations (k) et (n) trouvées ci-dessus, et on les ferait coïncider entièrement en substituant, au lieu de chaque quañtité

(2) , sa valeur

(we)

()= As Assin(a+i)e.

ainsi les fonctions F offrent un nouveau moyen direct et très simple de déterminer l'expression générale des quantités Le. 52. Pour reveniw aux quantités T (a), nous avons ns déjà trouvé Péquation T'(a).T (1 — a) = au moyen de laquelle les valeurs de la fonction, depuis 4 = 0 jusqu’ a = +, se déduisent des valeurs supposées connues, depuis 42 ? jusqu’à a == 1. Nous allons :prouver sltenienrement qu #1. suflit de connaître les valeurs

de la fonction dans la moitié de cet intervalle, c’est-à-dire seulement depuis ax à jusqu'à a == 1, et on en déduira toutes les autres valeurs.

sin ar’

412 INTEGRALES EULÉRIENNES , En effet, si on suppose a € + n, l'équation (€) donne tout à la fois

rOrO Or

Rene m)] Che nt (*=%)

Substituant ces valeurs dans l'équation (d'), puis mettant simplement 4 au

lieu de 7 et réduisant les fonctions d’après la formule (6), on aura

T(a)= — “ cos 47. T'(2a).T (j —a),

Te équation qui suppose 4 < à.

Cette équation combinée avec l’équation (8) , donnera T(1—a)= nr = cos a T (1 — 24)T (+4);

enfin de celle-ci on déduit, en mettant a — + au lieu de a,

r(a)= 2 Vz, LG 2, 6)

sinar ‘T(2—2a)

53. Nous supposerons connues les valeurs de T (a) depuis a = + jusqu’à ami.

Cela posé, 1°. Le second membre de l'équation (») sera connu pour toute valeur de a, depuis a = + s jusqu àa = à; donc on connaîtra T (a) dans ce mème intervalle depuis 4 = + jusqu’à a = À.

2°, Au moyen de ce premier cas, le second membre sera connu si 2 — 24a est compris entre + + &; on connaîtra donc T (a) toutes les fois que a est compris entre +3 et —

3°. Au moyen du er premiers cas, le ser membre de l'équation (v) sera connu si 2 — 24 est compris entre ++ ; donc on connaîtra T (a) pour toutes les valeurs de & comprises Ar. a! = } = ÿ jusqu'à

ai.

Me ss second membre sera encore connu si 2 — 24 est compris entre #2 et 33; donc (a) sera connu depuis a = ## = 4 jusqu’à a — #, et ainsi FA site |

Par ces diverses HE les valeurs de a pour lesquelles T (a) devient