CHAPITRE HI. | 49 Te JU" — N'J'AU ee JL N'SUee — NU LE etc
697. Réciproquement on tirera de cette équation la valeur de d'L* exprimée au moyen de la fonction donnée æ* 5 que nous désignerons par Q; cette valeur sera de la forme
d'Ue =Q + M'dQ + M'dMQ° + M"d4"Q" + etc.,
dans laquelle les coefficiens M’, M", M”, etc., se déduisent des coefliciens N’, N’, N°, etc., au moyen de l’équation
RE = 1 M Mat + MM cp etc.
On voit aussi que ces mêmes coefliciens pourraient se former par . quarré de la suite déjà connue, au moyen de l'équation
(reme m'es mas ele, = 1 4+-M'x + Mat Jp Ma -petc.
On aura de cette manière,
M——, M=— rs etc.;
ce qui donne enfin d'Le=Q + = d'Q — Ts DQ + orge 0" — etc.
698. L'analyse précédente nous a conduits à deux formules très remarquables; l’une pour calculer la valeur de d'U par le moyen de la quantité connue P = av, où v est ce que devient 4, en mettant @ + + «& au lieu de @; l’autre pour calculer la valeur de d'U* par le moyen de la quantité
du connue Q = «&* %
La première formule est
AU=P+ 3 Pi pds SP + De d'Pee — etc.
et la loi générale de ses mes est la mème que celle de la suite
+ —pE a + X° — etc.,
qui vient du développement de la fonction
TL — 5357 — ; 1 x 1.3 + 1.3, “ FRS PR PET ET st ss
la seconde formule est 1 1 31 d'U=Q+— d'Q — 3% NO + x d''Q"°—etc., et la loi générale de ses coefliciens est la même que celle de la suite 1 HT ee + pags a" — ete.
qui est le quarré de la suite précédente 1 + He — 5 x* + elc., ou qui vient du développement de la fonction T*.
699. Les deux formules dont nous venons de parler fournissent deux méthodes différentes pour construire une Table des valeurs de l'intégrale U= f'ud?, correspondantes aux valeurs de @, formant la progression o, æ, 24, 3æ, etc.
Suivant la première formule , il faut calculer les valeurs successives de la fonction donnée P = av, » étant ce que devient & lorsqu’au lieu de ® on met ® + À æ. Par cette substitution, P est toujours regardé comme une fonction donnée de @, qu’il faudra calculer pour chaque valeur de @ comprise dans la Table. Ainsi pour les valeurs successives ®, + a, ®+2a, etc., on aura les valeurs correspondantes P, P’, P", etc., et ees valeurs étant portées dans la Table, chacune sur la même ligne horizontale que la valeur de ® à laquelle elle correspond, on en déduira lenrs différences
premières, secondes, troisièmes et quatrièmes , dont on fera autant de colonnes séparées, comme on le voit dans le tableau suivant :
® — 24@ po JP d'peo d “Pos d'Po ® — aœ|pPe | JPe | J*Ps | JP | JP ? P | SP | JP | MP | Je
+ ap |4P |gep | 4 ® + aa | P | SP” | gp”
@ + 32 | P” | gp”
P+ fa | P"
Chaque colonne se forme de la précédente par soustraction , et reuferme un terme de moins, de sorte qu'il faut que la colonne des P ait été prolongée jusqu'aux P‘", pour que la différence d'P puisse être connue et placée sur la ligne des ® et P.
Lorsqu'on aura formé pour chaque valeur de la variable &, les quantités P, JP, d'P, d'P, MP, on en conclura pour la même variable ?, la
d CHAPITRE HI. 5x valeur de la différence JU, laquelle sera
dU—P +Z g d"P* — Fée d'Poe etc.
500. Ï] faudra faire attention aux indices qui affectent les différens ter-. mes de cette formule, et en vertu desquels le d'*P* doit être pris dans la ligne immédiatement au-dessus de celle où est P, le JP% une ligne encore au-dessus, et ainsi de suite,
En général, l'intervalle & doit être pris assez petit pour que la suite précédente soit très convergente et qu'on m’ait besoin que de ses deux premiers termes P + . d'P° ; le troisième — 5e °'P° servira seulement à diriger approximation pour savoir précisément sur combien de décimales on doit compter, et il faudra par conséquent que ce terme soit momdre qu’une demi-unité du dernier ordre de décimales auquel on veut s'arrêter dans la valeur de d'U.
Il pourra arriver cependant que dans, quelques parties de la Table qu’on veut construire, le terme dont il s’agit soit d’une où de plusieurs unités décimales du pr ordre ; alors il faudra en tenir compte, et juger de ce
qu'on néghge par le terme suivant de la série qui est + TE ju d'P*, ce
qui obligerait de prolonger la colonne des différences jusqu’au sixième rang
701. Ayant fixé d'avance le nombre des décimales avec lequel on veut exprimer les différences JU , on calculera S CE N en se bornant au nom
bre de décimales fixé. et négligeant le reste de la division par 24; mais pour plus d’exactitude, il sera bon de prendre toujours l’entier le plus approché du quotient, et de tenir compte du reste dans l'opération suivante. Supposons, par exemple, que d*P° divisé par 24, donne le quotient g et le reste r; alors dans l'opération suivante, pour former AU”, on divisera d'P + r par 24, ce qui donnera le quotient g’ et le reste r’, et ainsi de suife. Cette manière d’opérer, dont nous avons fait l'épreuve, donne des résultats plus exacts et empêche les erreurs de se multiplier. Nous distinguerons cette première méthode par le nom de Méthode des ordonnées moyennes , parce que l’ordonnée » qui sert à former l’auxiliaire P= av, répond à la variable @ + + æ, moyenne entre les deux valeurs consécutives ® et ® + «; elle suppose que la quantité P est calculée pour chaque valeur de @, avec une grande précision, et même avec une ou
deux décimales de plus qu’on n’en veut avoir dans la valeur de U; or a quantilé P , peu différente de la différence première d'U, est souvent d’une grandeur telle qu’il faudrait la calculer par des Tables de logarithmes à dix décimales, ce qui rendrait les opérations fort longues. Si l’on se propose, par exemple, de calculer les fonctions elliptiques E et F avec dix décimales, et pour des amplitudes croissantes de demi-degré en demi-degré, les différences JF, d'E devront être calculées avec douze décimales, et elles contiendront le plus souvent dix chiffres significatifs, ce qui exigera l’emploi de logarithmes qui aient au moins dix décimales.
702. On pourra ordinairement obtenir des résultats aussi exacts et avec
moins de peine, par le moyen de la fonction Q = «* e qui sert à déterminer les différences secondes d'U. C’est l’objet de la seconde méthode que nous ayons à exposer.
Il faudra alors foire usage de la formule
PU = Q + d'Q — 7 diQ + pr d'Q® — et. , et on prendra & assez petit pour que la suite se réduise sensiblement aux deux premiers termes, ce qui aura lieu si le troisième Ts 70° est partout moindre qu’une demi-unité du dernier ordre de décimales auquel on s'arrête dans le calcul des quantités d''U.
On voit qu’en attribuant une valeur déterminée à @, et prenant la quantité Q sur la même ligne, il faudra prendre d*Q° sur la ligne supérieure
pour former la somme Q + d"Q°; cette somme représentant d'Ue, de-
vra être portée également sur la ligne supérieure qui répond à la variable @ — à.
La colonne des d'U étant ainsi formée , il restera à avoir la valeur de d'U correspondante à @ = o, et c’est ce qu’on obtiendra immédiatement par la première formule. Au moyen de cette valeur et de la colonne des différences secondes, on formera la colonne des différences premières AU, et de celle-ci on conclura de même par addition, les valeurs successives de U.
703. Cette seconde méthode sera en général d’une pratique plus facile que la première, parce que la fonction Q est beaucoup plus petite que P et n’a pas besoin d’être déterminée avec un aussi grand nombre de chif-
