ONONO

ONOHOEO) Le nombre de toutes ces fonctions est donc = (1 + n). Il faut déduire de ce

nombre, 1°. les z fonctions de la forme (2) , dont la valeur exacte est : :

2°. les fonctions de la forme — dont la valeur est —=

nsin— t12

; le nombre de

. Ni I nn — 2 . ‘ ‘ celles-ci est —— où ——, selon que » est impair ou pair. Il restera donc ,

dans la série des intégrales Œ), un nombre de transcendantes égal à + (7— 1}, si nest impair, et à = (r — 2) si n est pair.

Dans le premier cas , un nombre 2 (#7 — 1}° de transcendantes (€) peuvent

. n — 1 ; ; 1 2 3 s'exprimer par les —— premiers termes de la suiteT +, T =, 7 =,etc.; dans

le second , un nombre = (n — 2) de transcendantes (©) peuvent s'exprimer par les = — 1 premiers termes de la même suite.

De là on voit qu’il peut être établi un grand nombre de comparaisons entre les transcendantes () qui répondent à une même valeur de #, et qu’elles peuvent toutes être exprimées par un petit nombre d’entre elles ; nombre

Fe ] ñn , . . .

— Ou; — 1, selon que » est impair ou pair. Mais ce nombre,

qui sera

dans le cas où # n’est pas premier, pourra être réduit ultérieurement par les autres propriétés de la fonction T , que nous démontrerons ci-après.

69. Considérons maintenant le cas où les deux nombres p et g sont égaux dans la fonction [p, g]; alors on aura

[a,a]=/fx"—" dx (1 — x},

Soit x = +(1 + y), la transformée sera 2% dy (1 — 7°}; et comme T. IL. 72

422 INTÉGRALES EULÉRIENNES, cette nouvelle intégrale doit être prise depuisy = — 1 jusqu'à 7 = 1, il revient au même de la prendre depuis y = 0 jusqu’à y = 1, et de doubler le résultat, On aura ainsi

fa, a 2" fi (eg Mettant x à la place de y*, ce qui ne change pas les limites , il viendra (a, a] = 2% fx % dm (i — x)", ou

[a, a] = 2". ER ä], formule qui s’accorde avec l’équation (r) du chap. LE. Mais, d’après l’équation (3) ci-dessus, on a

rar i rir mdr de res;

donc en substituant ces valeurs, l’équation précédente donne TaT(i+a) = 2 TI T(2a)= 21% mi. T(2a) : (9) c’est la troisième propriété générale des fonctions T. 70. Il ne sera pas inutile de faire voir comment on peut parvenir à ce résultat par une autre voie.

Considéfons pour cet effet la fonction 4{7), dont la valeur est

Un)= an + 2. 2h. tir fn

si l’on mét n + 1 à la place de 7, on aura

2h éie +6, an+8...fn44 Vu+:)= 8 » Donsorese an +1?

Ÿ(n+:) a fn+2.fn+4 = 4 Yn) 7 an4d2.anshpr TT Donc en général 4(7)=— A..4", À étant une constante qu'il faut détertniner dans un cas particulier. Or en faisant na = 1,on a A(n) = 4; donc A1; donc » étant un nombre entier quelconque, on aura anka.on+4.an +6..4n =