CHAPITRE VII. 425 (n+i)(nha)(n+5),..an = (an

1 3 5 ‘on: r(n+;) NAS 7 LE

Divisant la première équation par la secoude, il vient an+2.2n + 4...fn __ rir(an +1) 1. 3...,..20—1 l(a+i)r(n+1)" Lorsque » est un nombre entier, le premier membre se réduit à «2%; ainsi dans ce même cas on aura | rir(anbi) Tr +1)r(n45) Cette équation ayant lieu lorsque x est un nombre entier à volonté; elle aura également lieu pour toute valeur de 7, puisque Ta est une fonction continue de 7. Si l’on fait ensuite 2=—=4a—+,0on retambera exactement sur l'équation (9). 71. Si l’on combine l’équation (9) avec la première des équations de J'art 52, on aura l'équation (») de l’art 66, dont .nous avons montré Pusage pour déterminer la fonction Ta dans toute l'étendue de la racine a, pourvu qu’on connaisse la valeur de cette fonction depuis a = # jusqu’à a= 1. On pourrait prendre également pour intervalle connu celui de 4a=0 à a, ou celui dea= 1 à 4%, comme on le verra ci-après.

72. Pour revenir maintenant aux réductions dont nous avons parlé dans l'article 68, il faut voir quel usage nous pourrons faire de l’équation (9).

Si 2 est impair, il n’y a pas lieu d'appliquer cette équation, parce qu’il en naîtrait de nouvelles transcendantes dans lesquelles les quantités a auraient , des valeurs fractionnaires dont le dénominateur serait 27, et qui ne seraient plus comprises dans la suite des trancendantes T ER ne COR

L2 Li LL]

Mais si # est pair, l’application de l'équation (9) aux valeurs successives

= a= 2, etc., permettra de réduire le nombre des transcendantes n—2

3 2, T£, etc., à 7 -0P 7 selon que 7 sera.de la forme 4i4-.2 qu 4i.

73. Toute la théorie des intégrales Eulériennes, tant de l’espèce () que

de l’espèce l'a, est comprise dans le petit nombre de formules que nous venons d'exposer, On en -pent déduire, sans exception, toutes les formules qu'Euler a données dans ses différens Mémoires sur. ces intégrales, et toutes

424 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

celles que nous leur avons ajoutées, d’après l'équation (d' ) qui n’était pas connue de cet illustre auteur.

L'application de ces formules au cas de n==12 a été donnée avec détail dans l’art. 18. On y a fait voir que, dans la méthode d’Euler, cinq transcendantes A, A,, As, A4, As. sont nécessaires pour déterminer toutes les inté-

grales () ; elles suffisent aussi pour déterminer toutes les fonctions T3,

T£Æ...17%, ainsi qu'il résulte des formules des art. 50 et 5. Au moyen de l'équation (d'), ces cinq transcendantes ont été réduites à trois seulement , savoir, À,, A,, A,, ce qui s’accorde avec le résultat général

de l’art. précédent, qui donne? pour le nombre de transcendantes néces-

saire lorsque 7 est un multiple de 4.

Enfin, au moyen de diverses intégrations dont le résultat a été donné, art. 24, on est parvenu à déterminer exactement le rapport de À, à À,, ce qui réduit les trois transcendantes aux deux seules A,, A,. On peut donc réduire à deux seulement les fonctions T +, T &..,./2, de manière que ces deux fonctions étant connues , toutes les autres peuvent en être déduites.

Cette dernière réduction, qu’on n’avait obtenue que par des intégrations très compliquées, méritait une attention particulière; elle donnait lieu de croire que la théorie des fonctions F devait contenir d’autres formules propres à opérer leur réduction. Ces formules ont en eflet été découvertes par des recherches ultérieures, dont nous donnerons le résultat après nous être occupés des développemens en série qui servent à calculer les valeurs approchées des fonctions Ta.