CHAPITRE IX
Formules pour calculer la valeur aussi approchée qu'on voudra de la fonction Z= log rx.
74. S: on appelle P la somme log 1 +- log 2 +- log 3... log x, Euler a fait voir dans son calcul différentiel, page 465, que cette somme peut
CHAPITRE IX. 425 s'exprimer par la suite : | P= x Lit L(27x) — x + A sir + — — etc.,
A', B', C', etc., étant les nombres Bernoulliens. Soit donc e le nombre dont le logarithme est 1, et R un nombre tel qu’on ait A" B’ C BREST EGn ete on aura l'équation :
Le premier membre est la valeur de T(1+-x) lorsque x est un nombre entier; mais comme le second membre est une fonction continue de x,
on aura en général quelque soit x,
Tia) = (5) (amx'R, (11) telle est la formule par laquelle on pourra dans tous les cas dbisrsiisies la valeur approchée de T(1-+x), et par conséquent, celle de Tx=— IT( 1x),
pourvu que x soit > 1.
75. La quantité R peut se développer suivant les puissances de 23 car on à
R= 1 + log R+ 3 lg" R+ 55 log* R + etc.; substituant donc la valeur
de log R, ainsi que celles des coefliciens A”, B', C’, etc., qui sont À =}, B'= 5, C=ZX, D'=, etc., on aura
: 1 139 51 Rmitoot afiax) — 3o(12z) 1ao{1azh Le
Dans cette suite, si on appelle M la partie qui contient les puissances paires de x, et N celle qui contient les puissances impaires, on aura M°—N'=y, M—N° En effet, comme toutes les puissances de x sont impaires dans log R, le changement du signe de x donnera log (M+-N)=—log (M—N), ou
log (M°— N°)= 0; donc M°— N°—1.
76. Il est à remarquer que la suite - 5 + pes — etc. , même en supposant x assez grand , n’est convergente que dans un certain nombre des premiers termes; car on sait que Îles nombres Bernoulliens dont les expressions sont fort irrégulières, croissent continuellement passé le troi-
de sorte qu’on pourra prendre indifféremment R=M+N ,ou R=
426 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
sième terme, de manière que si T® et T+9 sont doux termes consécutifs se
des rangs n et z +1, le rapport 7 a pour limite - -. La suite qui ex-
prime log R sera donc convergente aie un assez gra a nombre des pre-
miers termes, si æ est de plusieurs unités; mais elle finira par être diver-
gente, et donnerait une valeur de log R d’autant plus fautive qu’on la
continuerait plus loin au-delà du terme où elle cesse d’être convergente. De là on voit que pour une valeur donnée de x, Le y a un terme qu'on
ne doit pas passer dans le calcul de la suite =— — = + etc., le terme
auquel il faudra s'arrêter est celui qui serait suivi d’un terme plus grand; alors l’approximation ne peut aller plus loiu , mais elle sera tout aussi étendue qu’on voudra, en prenant x suisamment grand.
Il en serait de même de la série R= 1 t— + ue mais
on) celle-ci n’est pas d’un usage aussi facile que la série — HT +77 + etc.,
dont la loi est manifeste et ne dépend que des nombres Bernoulliens, 77. On peut fixer 4 priori le nombre des termes après lequel cette dernière suite cesse d’être convergente; car en considérant les deux termes con-
sécüutifs Tr) Tée+ 1)
an ni nt + an + 2.97 + 1,x28#17 et les supposatt égaux, on aura
TCr+) an +2.2n +1
TO) on.an—1 x; mais plus # est grand, plus le premier membre approche de la limite an+2.an + 1 n— næ#x. Ainsi, en faisant x =5, on a n—15 ou 16, c’est-à-dire que la série cesse d’être convergente vers le 15** terme; si on faisait æ =10, la série cesserait d’être convergente vers le 31%* terme, et ainsi de suite.
(Eul. Calc. diff., pag. 429) ; donc on aura, à très peu près,
78. On peut en même temps avoir la mesure du degré d’approximation que l’on peut obtenir avec une valeur dounée de x. En effet, si on appelle Q le n°" terme de la suite égale à log'R, on aura
“et comme on a, à très peu prés,
