LPPPPEETELETES

0.02767 59337 67 6"... ... vs... — 108 24 0.027067 79229 43 T'ossssossssrsse + 4o 21 0.02767 79269 64 Docs sasscsisn " 20 59 0.02767 79249 05 D'oncosorossses + 13 91 0,02767 79262 96 10° ....s ss... au | 11 98 0.02767 79250 98 Tlaososcsaeoe …. + 12 B1

On voit que, conformément à la formule, la série cesse d’être convergente passé le 10° terme, et que la valeur de log R qui en est déduite, doit être comprise entre 0.02767 7926296 et 0.021767 79250 98; ce qui donne par un milieu

logR= 0.02767 79256 97, valeur exacte, presque jusqu’à la onzième décimale. Maïs , en continuant la suite plus loin, on s’éloignerait de plus en plus du vrai résultat.

Cet exemple met dans tout son jour la manière de tirer tout le parti possible, pour les approximations , des suites demi-convergentes, c’est-àdire des suites qui sont convergentes dans les premiers termes, et qui deviennent ensuite divergentes.

80. Cherchons maintenant une formule qui donne le développement de

CHAPITRE IX. 429 log Tx, lorsqu'on suppose x plus petit que l’unité. Soit pour cet effet

cette dernière sue étant prolongée à l'infini. Nous regarderons la quantité M comme une fonction continue de .. puisque sa valeur peut se développer ainsi (Calc. diff., page 443):

= logz + CHE — sn — Gu-hete.; (12)

cette formule donnera immédiatement la valeur approchée de M lorsque æ sera plus grand que l'unité, mais on en peut déduire aussi cette valeur lorsque x sera plus petit que l'unité. Car M(x) et M(x+ 1) désignant des fonctions semblables de x et de x 1, on a évidemment r M(x) = M(x-i) — ti

et l'application répétée de cette formule fera dépendre M(x), successivement de M(x<+ 1), de M(x+2), etc., c’est-à-dire en général d’une formule M(x'), où la variable x’ surpassera x de plusieurs unités, ce qui permettra de déterminer facilement M(x’) par la série précédente.

81. Cela posé, si x devient x + «, & étant plus petit que l'unité, les fonctions M(x) et N(x), deviendront M(x+w) et N(x+w); or, je dis que la somme M(x) + N (x) = M (x + 0) HN (x + w), . et que les deux sommes sont égales à une même constante C’.

En effet, si la suite qui a pour somme N(x), au lieu d’être prolongée à

: … st . , . ; I 7 Pinfini, était continuée seulement jusqu’au terme pe , étant un nom:

bre entier très grand , la somme M(x)-L N(x) et la somme M(x+ 0) de N(x+«) ne pourraient différer entre elles que d’une quantité moindre que 2 , puisque cette différence est celle qui a lieu lorsque w = x. Or, m étant très grand, la différence —}— est censée nulle; à plus forte raison le sera-t-elle, lorsque la suite N(x) sera prolongée à infini. On aura donc - -- L En M +N=C,;,, mais puisque la valeur de N est T. Il. 73

430 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

EME PEL ee etc. a

Si on développe chacune de ces fonctions dans l'hypothèse que x est plus petit que l’unité, on aura

N = 1 + ++ get — 2fi+ikytptee) + x° (a + mtytat etc.) — etc.

La première partie 1 + £+ 542" etc, n’est autre chose que la constante C,; car la fonction M(x) est zéro lorsque + =—0; donc on aura

M = Six — Syx* + Six — Syxt Æ etc., ° (13)

S, représentant en général la somme des puissances réciproques, de degré », des nombres naturels.

82. Mais, d’après l'équation (1) dont le premier membre = xTx ,ona, en supposant x >1,

PRE me +T— gx + ete. : (14)

et dans la même hypothèse on a, suivant l'équation (12),

M log æ+C+ LE + pete, donc | | d logr | ie =—-—C+M, (15)

équation qui dait avoir lieu quel que soit æ, puisque M peut ètse regardée comme une fonction continue de x.

Substituant donc au lieu de M le développement de cette fonction donnée par l’équation (3) dans l’hypothèse de x < 1, on aura

DER 1 C+Sr— Sur Sgn ete, (16)

ce qui. donne en, intégrant

log Tr = — l0gx — Cx + E Seat — 2 Sas Sixt me etc. (17) On n’ajoute pas de constante, parce que xTx ou T(1x) se réduit à Vunité, lorsque x= 0.

CHAPITRE IX. | 431 Puisque T{1+x) = a4Tx, on déduira de la formule (17) log T(1+x)=—Cr+iS,xt— +Syxt eh 2 S,xf—etc., (18) et en changeant dans celle-ci le signe de x, on aura log Tr —x) = Cr +is,x + Set 18 at oc. (19) 83. Observons maintenant qu’en vertu des deux équations T(1+x)=a2Tx,

Tx T{i—x)=—, on a

T1 x) Ti—z)=

sin ax

Prenant les logarÿhmes des deux membres et substituant les valeuré données par les équations (18) et (19), on aura

log (Æ = )= Sax + à Sixt + 3 Sex° + etc.

C’est la formule connue qui, par sa différentielle, sert à déterminer les valeurs

Sir, Spam, St %°, etc.

On peut faire usage de cette formule pour rendre encore plus conver-

gentes les suites contenues dans les équations (18) et (19), en les mettant sous cette forme :

log T(1x)= + log -—— = Os log T(i1—x) = 2 log =— das + Ca ++ 3 Sat +3 SyX5 fn etc

sin zx

Ainsi on a des séries régulières et toujours convergentes pour calculer la valeur d’une fonction quelconque Ta; ellessupposent seulement qu’on connaît les valeurs des transcendantes $,, 8,8 $,, etc., qui représenitént les sommes des puissances réciproques, de même degré, des nombres naturels. Ces valeurs sgnt données jusqu’à la seizième puissance et avec seize décimales, dans le Calcul différentiel d’Euler, page 456 ; mais l'examen que nous avons fait de cette Table , nous y a fait découvrir quelques erreurs assez graves, et nous ayons été obligé de la calculer de nouveau; nous avons cru devoir en même temps la prolonger jusqu’à la 35° puissance, terme passé lequel

chaque fraction qui suit l’unité devient la moitié de la précédente. Voici cette nouvelle table corrigée.

432 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Sa

13 | 1.00012 27133 475785 | 50 | 1.00000 00009 313274 14 | 100006 12481 350587 | 51 | r.00000 00004 656629 15 | 1.000053 05882 363070 | 32 | 1.00000 00002 328312 16 | 1.00001 52822 594086 || 33 | 1.00000 oo001 164155 17 | 1.00000 76371 976379 | 34 | 1.00000 00000 582077 1.00000 38172 932650 | 35 | 1.00000 00000 291038

à 84. Au moyen de cette table on aura, pour calculer log T (1 +- x), l’une ou l’autre des formules :

ITitx)=— Cr + 5 Sert mn 5 Ssxt LS ixf —etc., IX) = (TE) C4 Sont — à Sox — etc.

: (22) sin rx

Lorsqu'il s’agit de calculer log Ta pour une valeur donnée de 4, on peut toujours réduire la question au cas où l’on a a = 1 + x, x étant ?, ou même < +. Les suites précédentes seront donc convergentes, et auront l’avantage de l’être dans toute leur étendue; de sorte que le degré d’approximation auquel on peut parvenir par ces suites, n’est limité que par celui qui a lieu dans les valeurs des transcendantes $,, S,, S,, etc.

La seconde formule est préférable à la première, comme contenant une suite plus convergente, Cependant lorsque x sera très petit, il vaudra mieux faire usage de la première, parce que la valeur de log sin #x , donnée par les tables, pourrait n’être pas suflisamment exacte. Or le moyen de suppléer

CHAPITRE IX. 433 aux tables serait de calculer log sin #x par la formule Lsio x = Lx) Sen 1 Sixt — 1 Sun — etc.,

ce qui revient à faire usage de la première des formules ci-dessus ; mais lorsque x est assez grand pour que les tables donnent sans difficulté la valeur de log sin 7x, il y aura un avantage marqué à se servir de la seconde formule. 85. On pourra simplifier encore assez notablement cette formule, en lui donnant la forme suivante :

= ! Die rrs log T(i+x)= blog — : log = | e (i—Chx—(5,— )E—(S—1)E — etc.

Enfin, pour convertir ces s logarithmes en logarithmes vulgaires, il faudra multiplier les termes algébriques par le module m; soit donc

m(1—C)=B, 7 (Ss—1)=B;, FR (Ss— 1)= B;, etc.

et la formule adaptée aux logarithmes vulgaires deviendra

IrG+ae Hi —H (26)

+ Bx — Byxt — Ba — B,x’ — etc.

Cette formule pourra servir à calculer log Ta jusqu’à 14 décimales, si on a des tables telles que la Trigonometria Britannica, qui donuent ce nombre

de décimales pour Z sin #x ; quant aux logarithmes de x et de - + , il Sera toujours facile de les avoir avec ce degré d’exactitude, ou un plus grand encore, par la table connue qui donne les logarithmes des 11 ou 1200 premiers nombres avec 20 décimales, et le supplément que nous y avons ajouté, Table V ci-dessus.

Pour obtenir le nombre de décimales dont il s’agit, il sera bon de calculer le terme Bx par la simple multiplication, afin d’éviter emploi des logarithmes à 14 décimales, pour lesquelles on n’a point de tables complètes, ou auxquelles on ne supplée que par des calculs plus longs que la multiplication. D'ailleurs, si l’on applique la formule à Ja construction d’une table, la multiplication dont il s’agit peut être entièrement évitée, puisque Chaque produit B (x = «) se forme du produit précédent Bx > auquel on ajoute la constante Be.

Quant aux autres termes B,x*, B;x*, etc. , ils se Eds par les tables

434 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

ordinaires à 10 décimales, au moyen des logarithmes des coefliciens qu’on trouvera ci-après, art. 89.

Il ne faut pas perdre de vue qu’on peut toujours supposer x < + ou mème æ < 4. Dans le cas de x = +, le terme B,5x'* ne vaut pas trois unités décimales du onzième ordre ; dans le cas de æ = +, il n’en vaut pas une du quinzième. Au surplus , quand on est parvenu aux derniers termes de la formule, ces termes forment avec les suivans une progression à trés peu près géométrique ; de sorte qu’il est facile de tenir compte des termes qui restent à calculer.

86. La valeur de la constante C a été calculée par Euler ( Calcul différen-

tiel, page 144), au moyen de Ja suite harmonique 1 +- : + 3" .e +, dont la somme M (x) est donnée par la formule

M(a)=C+b+i + — ete, (25) A’, B', C’, etc., étant la suite des nombres Bernoulliens. Appliquant cette formule au cas de x = 10, on a, par la sommation effective, M= 2.928096 82539 68253 96825, etc., et par la sommation approchée,

valeur qui s'accorde, dans les 15 premières décimales, avec le résultat donné par Euler. | ,

La valeur de C peut se calculer aussi par l'équation (23), en faisant soit æ=1,s0itxr —; ; il en résulte ces deux expressions :

1—mC=;l2HE(Ss— ir) HE(Ss—i) H3(S,—1) +etc.,

pm Ca LE HS 1)3 3 (Sr) 3(S, — 1) etes; substituant les valeurs des quantités S,, S;, $,, etc., données par la table du n°. 83, on trouve

de là on tire

par la première expression C = 0.535721 56649 01532 85, et par la deuxième C=0.57721 56649 01532 861,

ce qui s'accorde aussi bien qu’il est possible avec la valeur déjà trôuvée , et on voit que celle-ci est-æxacte jusque dans la dix-huitième décimale. H suit de

la que les valeurs des transcendantes S, , Ss,5,, etc., contenues dans la table