CHAPITRE X

la dernière donne immédiatement e* = »", Pour avoir la valeur de À, il

faut distinguer deux cas, selon que » esl pair ou impair.

7 = 2 n— 1 s TL

Soit, 1°. 2—2m, les fonclions T:, T=.. …" auront

un terme moyen Ti= ÿ#, et les termes également éloignés des extrêmes étant complémens l’un de l’autre, leur produit sera donné par l’équation (3); et on aura pour le produit total de ces fonctions,

mi | x x * x x :

T°. ee ne à 6 =u —— . =. 27 . 3 . MI . m . 27 . 3x . Mi | Sin — Sin — Sin — sin F SIN — 610 — Sin —,,,.S8In F à n n n n n ñn n

Mais en faisant 3 infiniment petit dans Ja formule qui termine l’art. 240, Introd. in An. inf., on trouve

. T . 9x - 3e + MI te sin sin sin —..0.. SN ——#—=2 ? Wn; Lo nm Le LL

ce qui donne, dans le premier cas,

rir2r.....r nn r tr

et par conséquent

A = (ar) * nÿ,

Soit, 2°. n= 2m" 1, il n’y aura point de terme moyen dans la suite 1 2 3 n— 1 T >; Le; T=.....r n étant toujours complémens l’un de l’autre, le produit de toutes ces fonctions

sera

; mais les termes également éloignés des extrêmes

Fa FT Fr Lu —— |, 0 —— , F . 2+ , mx D: . me Sin — sin — sin — SIN — Sin —,... SIN — n n n n n n

D'une autre part , la formule citée d’Euler donne, lorsque » est impair, 1=hR ,

. fe. 2 . 3e : mr ST

sin = Sin — sin—5.... sin — = 2 ? n°; nm nm Le

donc on a encore dans ce cas,

SC 1 —= - Tirire.... FT = (27) < ñ 2 et par conséquent,

F h à Le.

444 INTÉGRALES EULÉRIENNES, Donc, quel que soit le nombre eutier ñ, on aura généralement la formule

Txr (,+x) F (£ + x). Tr + x )=T(nx).(27) cu n°7". (31)

97. Cette formule très remarquable comprend comme eas particuliers, les formules (28), (29) et (30); elle en donnera tant d’autres qu’on voudra, en prenant pour # des valeurs en nombres entiers au-dessus de 5.

11 est bon néanmoins d’observer que les formules qui résultent de l’équation (3:), en premant pour #7 un nombre composé, ne sont que des conséquences de celles qui ont lieu en ne prenant pour » que des nombres premiers , et qu’ainsi 1l suffit de considérer ces dernières , en donnant à » les valeurs successives 2, 3,5, 7,11, etc. On obtiendra encore de cette manière une iufinité d'équations auxquelles les fonctions T doivent satisfaire, et qui donnent les moyens de multiplier à l'infini les comparaisons et les réductions dont ce genre de transcendantes est susceptible.

98. Nous observerons encore que dans les usages de la formule (31) et de

nn —1

toutes celles qui en dérivent, on peut se borner à faire x <;; car si l’on met

: + x à la place de x, la formule qui naît de cette substitution ne diffère

pas de la formule (31); de sorte qu'on n’obtiendra entre les fonctions T que les mêmes relations qui peuvent être obtenues en supposant

LL 4 =, | 99. Nous pouvons même aller plus loin, et démontrer qu’il suflira de faire x < parce que l'équation qui viendrait en supposant x= +0, ne différera pas essentiellement de celle que donne la supposition

2% En effet , si l'on fait successivement ces deux substitutions dans l’équation (31), on aura

r (£+s) r(£+2) r(2 +). . (+0) = (s + n0) GT n”,

1 3 5 fn : — multipliant ces deux équations entre elles, et observant que chaque fonc-

tion T dans une équation, trouve son complément dans l’autre, on aura pour le produit total cette équatiou ,