CHAPITRÉ X

x ï * (ar) FRTE SRE AP: “ER LE Ge nn ra RE À.

sin Œ + r.) sin (+ r.) (siu Pr 4e) sin (£ +ner) laquelle en faisant © + o7r=:, peut être mise sous cette forme,

SiD 23 == 2" sin Z sin (+3) sin (+ 2). à «sin (= 4 +5):

ñ c’est l'équation déjà citée de l’art. 240, Zntrod. in An. inf. De là on voit que les deux équations obtenues en faisant x => + ©,

T=——0,ne donnent qu’un seul et même résultat, et qu’ainsi dans l’application de l'équation (31), il suffira de faire x <<

On peut remarquer encore qu’en faisant & = 0, on a la formule

rirérs ....r2=:

2n nn on an = (27) : T3,

laquelle se déduirait aisément de la formule générale

nn — 1 n

=(27) Tu.

ln 3 Trrs=r=......Tr

100. Îl rie sera pas inutile de rassembler ici sous un même point de vue, toutes les équations qui contiennent les propriétés générales des fonctions T, Voici ces formules, accompagnées des lettres qui serviront dans la suite à les désigner.

(A) Tæ=1,2.3....(x— 1),

(B) T(i+zx)=arzx,

(C) Tar(r x) = |

(D) TaT (ir) = T(2x). (am) at 7%,

(E) TaT(i+ax)T (GS +x)=T(5x).(27) gx,

(F) TaT (be) D (2x) T (x) (x) =T (5x). (am) 557$,

(N) Tar (+z)r(+æ).er a )ær (ax). (27) ni,

Lo

Ces équations offrent une infinité de manières de comparer entre elles les fonctions T', et d’opérer toutes les réductions que leur nature comporte, On ci: À 75

446 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

peut démontrer, par exemple, qu'il suflit de connaître la ‘fonction T dans une petite partie de la première période, pour pouvoir détermiñer cette fonction dans tout le reste de la période. On peut aussi considérer parmi les fonctions Lx, celles qui se rapportent aux diverses valeurs rationnelles de x qui ont un même dénominateur, et se proposer de réduire toutes ces transcendantes au moindre nombre possible. De là naissent différens problèmes curieux qui jelteront un nouveau jour sur la nature des fonctions T , et sur lesquels nous allons donner quelques recherches.

An AAA