Par exemple, soit x=Z, ou 4 = ;}, on aura

(3) = (5) + (6) — (3 5) + d; ainsi la valeur de (Z ) est composée de quantités connues. Soit encore x = 2 ou & — " on aura

Dans le second a la Pas (4) n’est pas donnée immédiatement,

puisque (-# : est > } ; mais on aura sa valeur par la même formule, en faisant

a = # — re

= (88) + (4) —(&) + d; d’où l’on voit que (4) deviendra entièrement connu.

103. Lorsqu'on fait x — + ou & — - , la formule précédente ne détermine pas la fonction (+); mais alors les équations (C) et (D) donnent immédia-

tement G+G)=d, (3)+(6)—(G)=d; d’où l’on tire la valeur cherchée (=: (6) +d.

Connaissant la fonction (x) depuis x = 0 jusqu’à = ;, il reste à la déterminer depuis x=—} jusqu’à æ = 2. Or, par la combinaison des équations (C) et (D), on a la formule (i—a@)=(e) — (2) + d.

Si l’on donne à «& toutes les valeurs depuis æ=— 0 jusqu’à & = 3, le second membre sera connu; ainsi‘on aura là valeur de la fonction (x) ou ( — +), depuis x = ; jusqu'a x = à.

On peut donc déterminer la fonction Tx pour toute valeur de la racine x, pourvu qu’on connaisse cette fonction depuis x = 0 jusqu'à x = ;.

Ce problème revient à celui que nous avons résolu dans l’art. 53; mais la méthode précédente fait voir plus clairement la possibilité de la solution.

104. 1l ne serait pas difficile d’ailleurs d’obtenir les solutions effectives, en réalisant les quantités désignées par d; on trouverait alors les trois équations

(4 + a) = (4 — à) — (aa) + (4e) + (1 + 22) la + lsin (ÿ — a), 2()=(G)+itx— 3l2— lsin :7, (—a)=(a)— (au) + + 7 (1 — 2@) [2 — lcos ar.

La première servira à déterminer la fonction (x) depuis x = } jusqu’à x =}; la seconde déterminera la fonction ; ; et la troisième servira à déterminer la fonction (x), depuis x = ? jusqu'a æ= ;. Enfin, d’après ces données, l’équation (C) servira à déterminer la fonction (x), depuis x = ? jusqu’à x = 1.

105. Puisque l'emploi des équations (C) et (D) donne les moyens de réduire à À la partie de la première période où la fonction Tæ doit être connue, afin de déterminer cette fonction dans la période entière, on peut conjecturer de là que si à ces équations on joint l'équation (E), il sera possible de réduire ultérieurement à } (1 — ;) ou #, la partie de la période qui sert à déterminer tout le reste, C’est ce que nous allons vérifier par une analyse semblable à la précédente.

Supposons que la fonction (x) est connue depuis x = 0 jusqu'à x=+}; d’après l'équation (E) on aura

Ge) + (He) + (44e) (+3) d Mais l'équation (D) donne (i+aæ)=(2@)—(a)+d, (1452) = (6æ)—(3a) + d, ct l'équation (C) donne (+ &)=— (1— 4) + d; on a donc la formule G+a)=(é—a)+ (a) —(22)— (32) + (6e) + d.

Tant que Ga sera plus petit que ?+-æ, ou tant qu’on prendra & << +, cette équation donnera la valeur de (x) ou (5 +-æ) par des fonctions dont la racine est moindre. Ainsi on connaîtra la valeur de la fonction (x) depuis x= 3 jusqu'à x= 3%.

La formule précédente ne détermine pas la valeur de la fonction (+); mais par uue autre formule que nous donnerons ci-après (art. 116), on a

106. Il reste à déterminer la fonction (x) depuis x=+ jusqu'à x= 2.

CHAPITRE XI. 449 Pour cela, soit 4= :5+ 3, l'équation précédente deviendra GH63)= (+5) + (+52) + (2) — (Gi) — (2) +d.

Pour faire usage de cette formule, il faut.supposer connue la Da (+32) depuis 3= 0 jusqu’à 2%, « étant une quantité aussi petite qu’on voudra. Alors donnant à 3 toutes les valeurs depuis 3= 0 jusqu’à 2=—-£, on connaîtra la fonction (x) ou (+ + 6z), depuis x=+ jusqu'à x =#+. On peut aussi ne faire usage de la formule précédente que depuis = 0 jusqu’à 3=—;;, ce qui fera connaître la fonction (x) depuis æ=; jusqu’à T=Y. On déterminera ensuite cette fonction depuis + = } jusqu’à x=;, par la

formule G—sx)=(x)— (2x) + d.

Cette solution est fort simple, puisqu’elle est fondée sur une seule formule mise sous deux formes différentes; mais elle suppose qu’outre la partie de la période connue depuis x=0o jusqu’à æ—3, on connaît encore la partie comprise depuis x =? jusqu'a æ =} +44, & étant une quantité qui, à la vérité, peut être aussi pelite qu'on voudra, mais qui ne peut être tout-à-fait anéantie. Voici un autre moyen de résoudre le même problème, en supposant connues deux parties de la période non contiguës, mais telles que leur somme se réduit précisément à +.

107. Supposons la fonction (x) connue dans deux parties de la première période, savoir, depuis x=0 jusqu'à x =, et depuis x=-# jusqu’à æx= x: ces deux parties réunies font une somme égale à +; et pour déterminer la fonction (x) dans tout le reste de la période, il faudra exécuter les opérations suivantes:

1°. Par les formules (E) et (C), on a

(Ga)=(e) +(G+e)—(s—e)+d:

le second membre est connu depuis & = 0 jusqu’à & = ;;, ainsi on connaitra la fonction (x) depuis x =0 jusqu'à x=£.

2°. D’après les équations (C) et (D), on a

des )+ (+ + es + d:

le second membre est connu . æ — 0 jusqu’à æ== }; donc on connaîtra

la fonction (x) depuis x = 0 jusqu'à x — 33. | 3°, Mettant & — 1 à la place de « dans l'équation précédente, on en tire

450 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

le second membre de celle-ci est connu Le Lun æ==0 jusqu'a &æ = ;; donc on connaîtra la fonction (æ) depuis x =# jusqu'à x = #.

Par ces trois premières opérations, la fonction (x) sera connue depuis x =0 jusqu'à += 7, et depuis æ = # jusqu'à x = 7%. Il faut maintenant remplir la lacune que laissent ces deux espaces, depuis x= ;% jusqu'à =, ou depuis x=?— 2 jusqu'a x = + +:#5."

4°. D’après l'équation (D), on a | (+2) H(Z +3) —(G+as)= d:

les termes (-Z+- 3), (2 25) peuvent être remplacés.par leurs complémens — (2), —(3— 22); ensuite par l'équation (D), le terme ( — 22) peut être remplacé par (?— 43) —(# — 22). On aura donc

G+3)+(G—4)= GR —:) + (25) + d.

Dans cette équation, le second membre sera toujours connu, pourvu que z positif ou négatif ne surpasse pas 2.

Cela posé, donnons à z toutes les valeurs depuis : = Fes jusquà s = #5; la fonction (2— 42) est connue dans cet intervalle ; ainsi on connaîtra la fonction (x) représentée par (}+4-2), depuis x=i+;i jus qu'à == $-H#+:#5. Donc l'intervalle où la fonction (x) reste inconnue ne s'étend plus que depuis & = 345 jusqu'à x = + 3.

Donnons maintenant à z des valeurs négatives, depuis :=—+.,5 jusqu'à 3= — #5; la fonction (£— 4z) sera connue dans cet intervalle, ainsi on connaîtra la fonction (+ 3) depuiss =— > jusqu'à 2= — 3; de

sorte que l'intervalle où la fonction (x) reste incofñnue se trouve de nouveau resserré entre L=+$— er et LE 5e

On continuera de procéder de la même manière, en attribuant à 3 des valeurs alternativement positives et négatives. Si l'intervalle inconnu s’étend d’abord depuis x= } —4 jusqu'à x = ? + {w, une première opération resserrera cet intervalle entre Les limites x=1—w, x = ;410 ; une seconde opération le resserrera encore entre les limites æ=+—+ et x; +30, et ainsi de suite. D'où l’on voit que l'intervalle inconnu finira par s’anéantic dans la limite x = ?; et en ce point on aura , toujours d’après la même formule,

5°. La valeur de la fonction (x) étant connue depuis + =0 jusqu’à æ= , pour la trouver depuis = Z jusqu'à x = +, on fera usage de la