CHAPITRE XII
Formules pour réduire au moindre nombre possible les trans-
+ : 3 — cendantes contenues dans la suiteT =, T =, F5... =2, n
étant un nombre entier donné.
mp … 0 = n mn 4 "| 4
109. S: n est un nombre premier, on ne pourra faire‘üsage que de l’équation des complémens (C), et les transcendantes dont il s’agit ne pourront être réduites à un nombre moindre.que £(#—41). Mais si 2æst un nombre composé, chaque facteur premier de # donnera lieu à l’application de celle des équations (D}, (E), (F), ete.; qui est relative à ce facteur, et il en
résultera des réductions d’autant plus multipliées, que # aura plus de facteurs simples.
Si n est divisible par 2, on pourra appliquer l'équation (D), dans laquelle on fera successivement x = 2, x= 2, æ— î, elc., jusqu’à x = n ce
qui donnera autant d'équations de condition entre les fonctions T = a . : 73 — 1
r esse € . On se borne à chercher des relations entre ces fonc=
+ La n—1!
tions , parce que les suivantes, jusqu’à T
— , se déduisent de celles-a
par l’équation (C), excepté T +, dont la valeur est connue. Si # est divisible par 5, on fera l'application de l'équation (E), en don-
nant à x les valeurs successives mo mo 2... jusqu'à à exclusivement, ce
qui donnera de nouvelles équations de condition.
On fera un semblable usage de l’équation (E), si # est divisible par 5 ; de l'équation (F), si z est divisible par 7, et ainsi de suite.
On aura de cette manière toutes les équations de condition qui servi-
L] # + e « 1 ront à réduire au moindre nombre possible les transcendantes T =,
r + “vés T — = ,et qui feront connaître en même temps celles de cés
fonctions qui sont nécessaires pour exprimer toutes les autres.
110. Considérons pour premier exemple le cas de 7=12, et désignons, pour abréger, log T () par ZÆ; la question est de réduire au moindre nombre possible les transcendantes Z1, Z2, Z3, Z4, Z5; et pour cela nous aurons à faire l'application des équations (D) et (E), puisque # a pour facteurs premiers 2 et 3.
Les valeurs à substituer dans l'équation (D) se réduisent à deux seulement,æ=;%;, æ=-%, parce qu'on doit supposer x < +; il en résulte les deux équations de condition
Zi + Z7 — 12 = ilr + à la,
La + 78 — L4 = Er + #2.
Au lieu de Z7 et Z8, il faut introduire les complémens Z5 et Z4, ce qui se fera par l'équation (C), qui donne, en faisant 7 =,
25 + 27 = lle + al2 + L sin ©,
L4 +18 Em + ln — Hi.
CHAPITRE XII. 453 Cette substitution donnera 25 = Zi — Za + + Ir + Zla + lsin w, Z4 = + 172 + : Li + ila 15.
L’équation (D) ayant fourni deux équations de condition, on voit que
les cinq transcendantes dont il s’agit se réduisent à trois, qui sont Z1, Z2, Z3 ; et cette solution est dans le fond la même que celle de Part. 18, où
l’on n’a fait usage que des équations qui, pour les fonctions ® > répon-
dent aux deux équations (C) et (D) relatives aux fonctions T. Mais l’application de l'équation (E), due au facteur premier 3, fournira encore une nouvelle réduction.
Puisqu’on doit prendre æ <£, on n’aura à substituer dans l'équation (£) que la seule valeur x = -;, ce qui donnera l’équation de condition
Zi + 25 + Zo — 23 = War) + 5iB; mais par l’équation (C) on a Z3 + Zo = = + 3h; donc Zi + Z5 — 275 = ila+in
Substituant dans celle-ci la valeur de Z5 exprimée par Z1 et Z2, il viendra 235 = Zi — Pa + sm + ila — 505 + ilsinw,
d’où l’on voit que les deux transcendantes Z1, Z2 suflisent pour déterminer .
toutes les autres: c’est le dernier terme des réductions qui peuvent avoir
lieu entre les diverses transcendantes désignées par T —.
111. Nous avions déjà atteint ce terme dans l’art. 24; mais nous n’y étions parvenu qu’à l’aide de diverses intégrations fort compliquées. En vertu de ces intégrations, on a déterminé le rapport des deux quantités M,, M,, comme il suit : Es
if = 25 35 005 © — +.
de: par la formule du n° 47,on a
