M=()= DE

donc

454 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

égalant les deux valeurs de Le on pourra déterminer F-Æ par le moyen des

deux transcendantes T5, l', et'on obtiendra ainsi, dans la notation précédente,

25 = Zi — 279 + Er Lila — 50 + Llsne, valeur qui s'accorde entièrement avec celle qu’on a déduite de l'équation (E).

Ainsi le résultat qui avait été trouvé presque fortuitement par des intégrations très difficiles, est donné immédiatement par l'équation (E). En général, il paraît que les seules réductions qui peuvent avoir lieu entre les fonctions T', sont celles que donnent les équations (C), (D), (E)et les suivantes, lorsque l'application peut en être faite, à raison des nombres premiers qui sont diviseurs de n. Ces équations ent d’ailleurs l'avantage de conduire aux réduolions par la voie la plus simple et la plus courte, comme on vient d’en voir un exemple; elles paraissent donc ne rien laisser à désirer sur la théorie des fonctions T..

112. Dans l’exemple dont nous venons de développer la solution, le calcul nous a conduits à prendre Z1 et Z2 pour les termes avec lesquels on devait exprimer tous les autres. Mais Z 1 et Z2 étant relatiB aux fonctions F+., T2, il peut paraître plus simple de prendre pour termes de comparaison les fonctions T5 et T+. Dans cette hypothèse, il faudra exprimer Z1,, Z2 et Z5 par le moyen de Z3 et Z4. C’est ce qu’on peut faire facilement, au moyen des formules précédentes, et voici le résultat du calcul dans lequel nous

comprenons toutes les valeurs de log T £, excepté log T3. 1 : 1 1 : 3 11. #

M£ = a 3 — Sr — ja + LB,

I 1 Li LI I . F :- ET. 1 n + 1 Ty.

LE = — Ni + br + la — 215,

ME =—-KN;+ir +; me — aTi + ir +$la 15,

11 I 1 3. SE 3 Le