CHAPITRE HI

Variable. Fonction. Diff 1. 11. auxiliaire! Dit L | II. lt. 1Ÿ.

® = 34 Ucco | JUoe0 d'U* Q°e d'Q° d'Qe d'Q°° d'4(jc0e p— ael U% [fUc [feUol Qe | fQe | die | iQ

D — «à CE? d'U° Q° d'Q° d"Q° ? U Q. |9Q. |, P+ a Q'

Pour aller plus loin , on calculera Pauxiliaire Q" qui répond à la variable ® + 22; on en déduira les différences successives d'Q', d'Q, d°Q°, 44Q°, au moyen desquelles on connaitra J'U° = Q + = d"Q 7e or, ensuite d'U et L’, de qui ajoutera un {orme à toutes les colontres.

Dans cette méthode, on ne néglige que les diffésences 2, lesquelles sont de l’ordre æ*, puisque Q est de l'ordre &*; on pourra donc fixer a priori le nombre de décimales qu’on devra admettre dans l’expression des fonctions U ; mais nous avons déjà fait observer qe les erreurs sur les différences secondes se multiplient comme les nombres triangulaires ; ainsi il faudra se procurer, à des intervallés déterminés, des vafeurs exactes de la fonction principale Ü 6& de sa différente première JU, afin de connaitre et de corriger les petites erreurs qui draïient pt s'accumuler par le progrès des opérations.

708. Les deux méthodes que nous venons d'exposer sont en général très propres à remplir l’objet qui était proposé de conistruire une Table des valeurs de l'intégrale U= f'ud®; elles ont l’une et Pautre des avantages et des inconvéniens qu'il faudra balancer lorsqtil s'agira de les appliquer à un objet déterminé. Nous remarquerons ici que la seconde de ces méthodes peut avoir une application particulière et fort utile, s’il agit en effet de construire une ‘Fable des valeurs de la fonction U, d’après la seule eon-

| ‘ sde 7 *U naissance du coefficient différentiel du second ordre Fe = u, en sorte

qu’on ait U = /fudg* ; le problème se résoudra immédiatement par la

formule d'U° = Q + d'Q° — OP Es dQ* —etc., où l’on a

Q= ou.

L'usage de cette formule suppose que l’on connait à Porigine de l’intégrale les valeurs de U et de J'U; ces deux données sufiront pour calculer la série entière des valeurs de U; et si l’on a besoin dans cet intervalle,

de l’un des coefficiens différentiels 2 %? ® le calculera par la formule ordinaire dU : t a = JU —E SU + 3 d'U — 7 JU + etc.

709. Si l’on proposait ultérieurement de former une Table des valeurs de la fonction U, en connaissant seulement le coefficient différentiel du 3° ordre = u, en sorte qu'on eût U = fudg", u étant une simple fonction de ®, la solution se déduirait aisément de la même analyse que nous avons suivie dans l’art. 606. Soit pour cet effet » ce que devient la fonction donnée u , lorsqu'on y met ® -+ + a ; au lieu de ®, on trouvera

ap = JU — K ASC LE KM U000 — KID LE etc., les coefliciens #, #", 4", etc., étant les mêmes qu’on déduirait de l’équation identique

(x—:. + + Ë ra — ec.) =2 — KxS + Ka — etc.

Soit donc &*v —R; et de l'équation précédente on déduira

SUR + ÿ Re — LI Re + TE - d''Roe — etc. ,

la loi des coefliciens étant la même que donnerait le développement de (+3z— 56e + ER ; xt — etc. Ÿ.

Au moyen de la formule précédente, il suffit de connaître à l’origine de l'intégrale les valeurs de U, JU, d'U, ou ce qui revient au inême, les trois premiers termes de la série U, U', U”, et on formera la série entière des valeurs de lintégrale U = f'udg*.

710. Il résulte encore de la même analyse qu’étant donné le coefficient diflérentiel du quatrième ordre M = u, si l’on fait «tu = S, on aura la formule

[00 1 Pego . 1 0 gai &Gocs d'4U =S + x d°S° ali + 7ag.as JS etc., au moyen de laquelle on pourra calculer la série entière des valeurs de l'intégrale U = f'{udgt, pourvu qu'on connaisse les quatre premiers ter-

mes de cette série U, U', U”, U”, ou ce qui revient au même, les quatre

quantités U, JU, J'U, MU,