CHAPITRE HE

On a vu dans les art. 704 et suivans comment les calculs doivent être disposés pour former graduellement la série des auxiliaires et celle des fonctions. Pour éviter à cet égard tout embarras, voici comment on mettra en usage la dernière formule

MU =S + zx JS — etc.

La valeur de S étant donnée en fonction de @, on pourra calculer préalablement, avec telle étendue qu’on voudra, la suite des quantités S, tant dans le sens des variables croissantes @, ®+æ, ® <+- 24, etc., à partir de la première valeur de ®, que dans le sens contraire @ — &, @ — 24, etc., s'il est nécessaire, Avec ces valeurs et leurs différences successives, pro-

longées jusqu’à ce qu’elles puissent être négligées, on formera autant de lignes qu'on voudra , telles que les suivantes :

® — als, dS, d'S, diS, diS, etc.

z S ,dS , dS , S, MS , etc.

p + x!S',dS!',4MS', dis, JMS, etc.

® + 2œ | S", d'S", J°S", d3S", d4S", etc

Cela posé, puisqu'on a en général

MU—S" +& ds — d'S + Tr ds — etc.

{ valeur qui se réduira le plus souvent aux trois premiers termes ); on voit que pour chaque valeur de @, la Table des quantités S donnera immédiatement la valeur de J{U, laquelle jointe aux valeurs connues de U, d'U, d'U, SU, servira à former dans la ligne inférieure les termes U’, dL’, d'U!, d'L,

Calculant de même la valeur suivante de d'U , qui est JU’, on formera une nouvelle ligne U°, SU", d'U”, JU”, et ainsi jusqu’à la limite de la Table qu'on veut construire.

On voit que pour être en état de calculer le terme d'U qui sert à trouver U'*, il suflira d’avoir avancé la série des S jusqu’au terme S'" qui sert / à trouver d"S, en supposant du moins que la valeur de JU soit exprimée d’une manière suffisamment exacte par les trois premiers termes de la formule. Ainsi, dans les cas les plus ordinaires , la série des S ne devra pas être prolongée au-delà de la valeur de @, où doit se terminer la Table; dans ces mêmes cas où l’on n’a point égard au quatrième terme de la formule contenant d'S°, le calcul des quantités S ne devra être fait qu’à

compter de la première valeur de @, puisque les quantités précédentes S°, S®, etc,, ne seraient d'aucun usage.

711. Il ne sera pas inutile de réunir ici, sous un même point de vue, les différentes formules que nous avons trouvées, pour former une Table des valeurs de l'intégrale U, lorsqu'on suppose connu , en fonction de la seule variable ®, l’un des coefliciens différentiels + De ; , %: voici ces formules où nous avons constamment désigné par P Pauxiliaire qui doit être employée dans chaque cas.

Soit 1°. l'intégrale U = f'ud; on fera P = æv, v étant ce que devient la fonction donnée u, en mettant @ + ? & à la place de ®, et on aura la formule

dU=P+ 4 d'P° — Es d'ipo + + d'Epes — etc.

Soit 2°. l’intégrale U= /f Se on fera P = a*u, et l’on aura la formule

d'U=P += = pe er = Po + Ge dépose — etc.

Soit 3°. lintégrale U = FES on fera P = &°v, » étant ce que devient uw, en meltant @ + + « au lieu de @, et on aura 10 1 fsPo 7 L] 457 000 PUS=P+ GP — EE dép +7 — elc.

Soit 4°. l'intégrale U = f pas on fera P = au, et l’on aura DU = P +5 dipe — E d'épee + e 7 d'éPeee — etc. Il serait facile de prolonger à à ee la suite de ces formules, en observant la loi qu'elles suivent et qu’on démontre généralement par l’ana-

lyse du n° 696. Ainsi pour l'intégrale U = /udg$, on ferait l’auxiliaire

P= af, et on aurait la formule dSU= P +5 JePo nu -E J'iPe + etc, ;

pour l'intégrale U = /‘udg°, on ferait P = au, et l’on aurait la formule dM'U=P +: d'Pe— 55 d'éPe +etc.,

ainsi des autres.

Quant à la loi des coefliciens, elle est la mème que celle qui résulterait du développement de la puissance