CHAPITRE XII

Mettant dans ces équations , au lieu des termes (13), (15), (17), leurs complémens —(1r), —(9), —(7), on en tirera

au=()—() +d,

Ces équations font voir que sur les six transcendantes (r), (3), (5), (7), (o), (x1), il suffit d’en connaître trois.

Mais de plus, l'équation (E) fournira de nouvelles réductions, en y sub-

situant les valeurs x = ;}, x — 2, toutes deux plus pelites que 4; cette substitution donne deux équations qui, au moyen des termes complémen-

taires, deviennent G)+@ —(D—(%=d, (3) + (11) — (5) — (9) = d.

Celles-ci, en vertu des relations déjà trouvées, se réduisent à une seule, qui

donne | G) = (1) — (2) + (6) + d.

Cela posé, on voit que les deux transcendantes (1) et (3) de numéro impair,

et les deux @); (4) de numéro pair, suflisent pour déterminer toutes les autres, puisqu'on a les valeurs suivantes :

G) = (1) —1(4) + à, G) = (G)—.() +3(4) + d, GO) = (3) — (2) +3(4) + d Gi}=()— G)+ 4.

srl dans le cas de 7 — 24, les quatre transcendantes T£,T2£, TX, T suffisent pour déterminer toutes celles qui sont comprises dans la mème série, jusqu'à F 33.

116. Considérons enfin le cas de n = 60, et proposons-nous de trouver combien il faut de termes de la suite T4, T5... V5? pour déterminer tous les autres , et quels . ces termes.

Désignant toujours log Te Gs Par (k), on. pote d'abord NET les ter-

mes où # est un multiple de 5 , et appliquer à ces termes les formulés trous vées pour le cas de = 12, ce qui donnera

458 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

(18): (5) —4 (ro) + d,

(a5)==- (5) = (10) + d Ainsi les deux termes (5).et (ro}sufllsent pour déterminer-toutes bee ta transcendantes (4), dans lesquelles k est un multiple de 5: :

Si l’on considère séparément les termes où # est pair, on aura, par l’ap-

plication des équations (D)'et {C) , les relations-suivantes :

On trouvera ensuite, au moyen des équations (E) et (C),

Ces quatre équations, combinées avec les six qui précèdent, offrent deux coïncidences , et ne déterminent que huit quantités, savoir : (28) = (2) — (4) + d, (26) = (2) — (6) + d, (24) = (6) — (12}+e d; (22) =2(12}= (2) +-d, (18) =2(12)— (6) + d, (16) = (4) + (6) — a (12) +:

, 1. (4) = (2) + (6) — 2(12) + d, (8) = (6) + (4) — (2) + d; d’où l’on voit que les quatre quantités (2), (4), (6), (12) suflisent pour déterminer tous les termes (£), dans lesquels # est'pair el’rron divisible par 5! : Enfin l'application des équations (F) et (C) donne (2) + (14) + (26) — (22) — (10) — (10) = d, (4) + (16) + (28) — (20) — (8) — (20) = d, et''oe8 deux-ci.se réduisent à une seule, savoir : (2) = (2) — 4 (10) + 45