CHAPITRE XIL

d’où il suit que tous les termes (4) où k.est pair, pourront s'exprimer au re des quantités (2), (4), (6), (ro).

137. Venons maintenant aux quantités où k est impair. On aura, par l'application des équations (D) et (C), ges six conditions : Eÿ=(r)—(2)+ 4, CT GD= (5) — (6) +4, (1) = (9) — G8) + d, (17) = (15) — (26) + d.

Ensuite les équations (E) et (C) en fourniront quatre , savoir : () + (1) — (9) — (5) = d, (3) + (23) — (179 — (9) = 4, (7) + (27) — (55) — ar) = d, (9) + (29) — (11) — (27) = d.

Mais ces quatre conditions se réduisent aux deux suivantes :

(tr) =) + (9) — (2) — (3) + (6) + d, (3) = (3) + (7) — (9) + 2(2) — 2(6) — (re) + d.

Enfin l’équation (F) donnera deux conditions qui, en vertu des relations déjà trouvées, se réduisent à uneiseule, savoir:

De là on voit qu'aveciles quatre données impaires (1), (3), (5) , (7), jointes aux quatre données paires:(2), (4), (6), (10), on pourra achever de déterminer toutes les transcendantes désignées par (*). On aura .en effet, pour les termes:impairs., ces Ex pressions :

Gr) = (1) — + (10) + d,

(ar) = (5) — (2) #5 (10) + à,

2 (5) (1) + (2) — (6) — (10) + à, (5) æ= (5)— (10) + d, 279 = (5) — (6) + d, | U9) = (1) —(2) + de

Quant aux termes où # est pair, nous avons donné ci-dessus leur expression, où il ne reste plus à substituer que la valeur (12) —={(2) —+ (10) + d.

118. Remarquons que le nombre des transcendantes nécessaires pour déterminer toutes les autres, étant nommé N, on aura

pourn= 12, N=2=2(i—r (13), pour n= 24, N=4=— #4 (11) (1—5), pour x = 60, N = 8 — Ee (12) (15) (1 —à).

Dans cette formation du nombre N, le facteur à est dà à l'équation (C), le facteur (1 — +) à l’équation (D), le Goteuc (1 — 2) à Péquation (E), et le facteur (1 — +) à lésion €F).

En général, si æ, 6 , y, etc., sont les nombres premiers inégaux qui divisent N, on aura

nombre qui exprime combien il y a de nombres premiers à # et moindres que + 7.

Cette loi a été vérifiée dans plusieurs autres exemples, et il y a lieu de croire qu’elle est vraie en général; d’où il suit qu’étant donné un nombre quelconque #, on peut ARR SN RES combien il faut

de termes de la suite T =, T°, T° autres. |

Ainsi si l’on voulait construire avec le moins de données possible, une table des fonctions T'a pour toutes les valeurs de 4, de millième en millième, depuis & — 0.001 jusqu'à 4= 1.000, on pourrait le faire. en supposant connu un nombre de termes de cette suite= 500.+.*:= 200. Si au lieu de donner aux valeurs successives de a, le dénominateur commun 1000, on leur donnait le dénominateur 1050, qui a pour. facteurs À oi 2; 3,5, 7, le nombre des termes nécessaires serait “5° .1,3.4.6$= 120. Ainsi il ne faudrait que 120 termes pour en déterminer algébriquement 1050, et la Table ne serait guère moins facile à interpoler que dans l’autre cas.

, pour déterminer tous les

119. On sait de cette manière combien il-faut de transcendantes pour déterminer toules les autres; mais il-n’est pas aussi facile de prévoir quelles sont, pour chaque valeur de #7, ces transcendantes. Dans le cas de 7=—60, on aurait pu penser que ces quantités, dont le nombre est fixé à huit, pouvaient être les huit premiers termes de la suite T&, T&E,T2,etc.;