CHAPITRE XII

mais le calcul a fait voir que la fonction T -Æ doit être exclue comme étant déterminée par les précédentes, au moyen de l’équation(8}=(6}4-(4)}—(2}+4. Cette circonstance a forcé de prendre pour huitième terme la fonction T 32. Au reste, le problème qu’on a résolu par les huit fonctions mentionnées, pourrait l’être de beaucoup d’autres manières, c’est-à-dire qu'une ou plusieurs de ces fonctions pourraient être remplacées par d’autres en nombre égal; ce qui ferait toujours huit transcendantes par lesquelles on déterminerait toutes les autres.

120. Nous remarquerons encore que les équations que nous avons trouvées pour les cas den —12, n=— 24, n=60, et toutes celles qu’on trouverait de même pour d’autres valeurs de n, sont autant de théorèmes qui établissent des réductions plus ou moins remarquables entre les fonctions T.

Par exemple, l'équation (12) = (2) — : (10) + d, obtenue dans le cas de n —60, est l’expression abrégée de ce théorème

Ti=T3zs-(Té)*P, P étant une fonction donnée de # et de quantités algébriques. Il est même facile de voir, & priori, de quelle mamière + doit entrer dans cette fonction.

En effet, si dans les équations (C), (D), (E), etc., on fait Tx= 7 Q{x), ® étant une nouvelle fonction, on trouvera que # disparaît entièrement de ces équations, de sorte que la quantité 7*—* Tx devra être indépendante de # dans tous les résultats qu’on tirera de ces équations.

Dans l'exemple précédent on a # — 52 :.5 = }; donc

ri=T(Ts) "7, Q étant une fonction purement algébrique qui ne doit plus contenir +. Pour trouver cette fonction algébrique, il faudrait développer tout au : long les équations qui ont conduit à l’expression abrégée (12) = (2)— 1(10)+ d, comme nous l’avons fait dans le cas de n = 12.

462 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

res ax