CHAPITRE TI

1 = 1.3 1.3 5 . + x (: me 7 Ental'ln 2.4.0" 9. set.) :

n désignant l’ordre de l’intégrale proposée U — f"ud@”. 712. Il serait à désirer qu’on pût calculer par des procédés semblables et avec des suites aussi convergentes, les valeurs successives d’une fonction

U donnée par une équation différentielle du premier ordre E D...

fonct. (U, @), ou même par une équation différentielle d’un ordre plus élevé. Ce problème est de la même nature que ceux qui concernent les intégrales simples ou multiples ; mais sa résolution offre beaucoup plus de difficultés, et jusqu’à présent nous ne voyons d’autre moyen d’y pre que la formule de Taylor

ddU a!

UT + Tr +. tre Te + 0»

qui sert à calculer la différence finie d’une fonction par le moyen des coefficiens différentiels successifs de cette fonction.

‘ ; . ‘ T Si l’équation est du premier ordre , le premier coefficient sera donné . ‘ ddU ŒU o 7e :

en fonction de U et de @, et les survans À? if? etc., s'en déduiront par la différentiation. On pourra donc, d’une valeur donnée de U correspondante à 9 — e, déduire la valeur suivante U'= U + JU, correspondante

àg—e+ a, et ainsi successivement. 713. Si l'équation est différentielle du second ordre , alors faisant...

ge = u, le coefficient sera une fonction donnée de u et de @; on en dé-

duira par la différentiation les valeurs des coefliciens suivans D > etc., exprimées semblablement en fonctions de w et de @.

Connaissant donc les premières valeurs de U et de x qui répondent par exemple à à @—e, on trouvera les valeurs suivantes de U et de u qui répondent à ® =e E æ, au moyen des formules

: JU=au+<. AL Ds

a ss d'U du =. = D + +: tete; d’où l’on déduira LU’ = U+ JU, d'= u + d'u. Par ces nouvelles valeurs de U et de & qui répondent à @ = e + «, on trouvera semblablement les valeurs suivantes qui répondent à @ == e + au, et aïnsi suocessivement

Go CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

jusqu’à la fin de la Table. Mais ces calculs qu’on doit faire ainsi pas à pas pour que le résultat en soit plus exact, sont très longs et très difficultueux.

Il serait d'autant plus utile de perfectionner ces méthodes en rendant les suites plus convergentes, que la réduction en Tables est la seule ressource qui reste pour évaluer les fonctions détermanées par des équations différentielles qu’on ne peut intégrer exactement; et peut-être n’y a-t-il pas d’autre moyen de résoudre les grandes difficultés que présente la théorie des perturbations des planètes, lorsque le développement en série ne peut pas avoir lieu , ou lorsqu'il ofrirait un trop grand nombre de termes qui ne pourraient être négligés.