CHAPITRE XY
le sens positif. La première sera comprise depuis x = 0 jusqu'à = — 1, la seconde depuis x = — 1 jusqu'à x ——9, ainsi de suite.
D’après l'équation précédente, on voit que la fonction T (—x) est négative dans toute l'étendue de la première période, et qu’elle est infinie aux extrémités de cette période.
Si dans ka même équation l’on met 1 + x à la place de +, on aura
Ti —x);
1 Li 1+x x(1+ x) d'où il suit que la fonction T(—a) est positive dans la seconde période, depuis a= 1 jusqu’à a=—2, et que dans ces deux limites, elle est infinie.
Mettant dans cette dernière égqation 1 +-x au lieu de æ, on aura encore
RS ROUES, RS RERO Ce; IFRS THEsje tn"! z)= x(1+ x) (24 x) ?
d’où il suit que la fonction T(— 4) est négative dans la troisième période, depuis 4a=2 jusqu’à a=3, et qu’elle est infime dans ces deux limites,
En continuant ainsi, on voit que la fonction T(—a) sera infinie pour toutes les valeurs entières de 4, et qu’elle sera alternativement positive et négative dans les périodes successives.
141. La courbe dont les ordonnées représentent T(x), est donc composée, dans le sens négatif, d’une infinité de branches séparées par des asymptotes perpendiculaires à l’axe des æ, et menées successivement aux distances T0, —1, —2, —3, etc. Ces branches qui touchent chacune des asymptotes, sont situées alternativement d’un côté et de l’autre de l’axe, de sorte qu'il y a dans chacune un point où la fonction T est un minimum.
La fonction l'a étant supposée connue pour toute valeur positive de a, on en déduit aisément par les formules précédentes, l’expression de toute fonction de cette sorte où a est négatif; soit en effet £ un entier quelconque, et æ un nombre moindre que l’unité, on aura en général
C3) Tr (1 — 3) Le nl CE ICE EE TE G) ou encore : L D à Cette dernière formule se déduirait directement de l'équation (C)
TaT(i—x)= -
sin x ?
478 INTÉGRALES EULÉRIENNES, dans laquelle mettant À + 1 + x au heu de æ, on trouve Th Ha) (ke) 2 (— Ta (1 = x).
sin#x ous (£ + 1)}#
Ces formules s’accordent parfaitement avec les résultats que donneraient les autres équations (D), (E), (F), etc., en y changeant le signe de x. Elles offrent conséquemment la théorie complète des fonctions Ta pour toute valeur négative de a.
142. Pour confirmer cette théorie, nous allons démontrer, d’après la va-
leur générale du coeflicient Se , que la fonction T n'est susceptible que
d’un minimum dans le sens positif, mais qu’elle en admet une infinité dans
le sens négalif.
En effet, si l’on fait log Tx = Z, on aura (art. 91)
dz Z — 1 Æ=—1 æ— Tr X — 1 ES RS CE DURS CE = DAS {LE 7 iles
Lorsqu'on fait += 1 ou x 1, la valeur de a est négative; lorsqu'on fait
=2,0n 4 d£ C 1 ï 1 Der + 3354 Frs te. —C= Î —C, valeur positive, Donc entre x=1 et x=2,il y a une valeur de æ qui rend nulle + et alors Z est un minimum.
rs | dZ, se . ,.
Si l'on fait x > 2, la valeur de 7 sera positive et augmentera Jusqu'à
l'infini. Ainsi il n’y a aucun autre minimum dans le sens positif.
Dans le sens négatif, au contraire, il y a un mirimum dans chaque période, ou en général entre x=— k et æ=—k—1,k étant un entéer quelconque. Prouvons, par exemple, qu'il existe un minimum entre x=--2 et x=—53.
Lorsqu'on fait x——2—#, & étant infiniment pelit, la valeur de % contient différens termes dont la somme est finie, et un terme = qui est un iu-
fini positif. Lorsqu’ensuite l’on fait x=—— 3 + w, la valeur de se con-
tiendra de même des termes dont Lx somme est finie, et un terme —; qui est un infini négatif. Donc entre ces deux extrêmes, il y a une valeur de 2 nulle, donc il ÿ a un minimum entre x=— 2 etx=— 3, conformément à la théorie précédente.
