CHAPITRE XVI

Construction et usage de la Table des logarithmes des fonctions l'.

143. Nous nous sommes proposé de calculer jusqu’à 12 décimales, une Table des Logarithmes de la fonction T(1-+x), en donnant à x toutes les valeurs de millième en millième, depuis += 0 jusqu'a x = 1. Voici comment ces calculs ont été faits.

Comme les séries qui servent à calculer les différences successives de la fonction log Tx, sont moins simples et moins convergentes que celle qui donne immédiatement la valeur de cette fonction, nous n’avons point fait usage des différences , et nous avons calculé directement chaque terme par Ja formule (24), et pour les cas où x est très petit, par la formule

log T(t+x)= — l(1 + x) + Br Br Bjr + Bxt— etc. On a calculé ainsi les valeurs de log T(1 +x), depuis x = 0.001 jusqu’à

æ=0.250; ces valenrs ont servi dans chaque cas à déterminer leurs complémens au moyen de la formule

X(I— LA r(a—x)= — ee (44) On a donc obtenu à la fois les valeurs de log Ta, depuis 4 = 1.000 jusqu'à a= 1.250, et depuis a = 1.760 jusqu’à «= 2.000.

Au moyen de ces valeurs qui composent déjà la moitié de la période, on a trouvé les valeurs de log Ta depuis a= 1.575 jusqu'à a= 1.625 ce qui forme un troisième quart de la période, par les formules

‘ TG +s) (is) ELEC T ur tous *

| ! (45) rE+ a = pee +2),

dans se EE on a donné à x les valeurs successives depuis x = 0.001 jusqu’à x = 0.125.

La seconde des équations (45) jointe à l'équation (44), donne les formules Ti+ x) = ; TCE?,

x (1 x) LE rG+ x) "sin rx?

au moyen desquelles on a déterininé log Ta depuis a = 1.250 jusqu’à a= 1.312, el depuis a = 1.688 jusqu’à a = 1.750.

Pour achever de calculer le reste de la période, on a passé des formules (46) aux formules (45), el ainsi alternativement, jusqu’à ce qu’on eût les valeurs de log Ta, qui s’approchent le plus des limites des deux suites qui sont 1 + d’un côté, et 1 de l’autre.

144. À chaque logarithme de la Table, on a joint ses différences première , seconde et troisième. Ces différences marchent avec la régularité nécessaire pour garantir l'exactitude des calculs ; elles serviront à faire reconnaître et à corriger les fautes, s’il s’en était glissé dans l'impression ; de sorte qu'avec tous ces secours, on peut regarder les transcendantes T comme étant connues avec un degré de précision plus que suffisant pour toutes les applications qu’elles peuvent recevoir. 1] faut maintenant entrer dans quelques détails sur les interpolations auxquelles donnera heu l’asage de cette table.

Soit, pour abréger, À = log Ta, et soient d'A, d'A, d'A les diférences successives de À, telles que la Table les donne, en supposant que les valeurs de à croissent continuellement d’une quantité w = 0.001. Pour avoir le terme X qui représente loy T(a—+ x), on aura Ja formule

X = À + x (d'A + I (JA + SE (IA, (47) dont le calcul se fera de la manière suivante : | Étant donnée la valeur de x qui sera toujours plus petite que l'unité,

21— 3% . ‘ .s s on calculera le terme —-- J'A IonquA la douzième décimale seulement,

et on formera , en PR les signes, la quantité d'A — (=) d'A,

qu’on pourra appeler, comme ci-dessus (page 36), la différence seconde corrigée, et qu’on désignera par J'Ax. On calculera de même jusqu’à la