CHAPITRE IV

est négligeable; or, c’est ce qui a lieu dans le cas présent, et ce qui aura toujours lieu à l'égard de la fonction E, à moins que les quantités c et sin @ ne soient toutes deux très rapprochées de l'unité. 715. Pour calculer les valeurs successives de Q, soit 6 = : c'a*, et soit À un angle déterminé par la valeur sin À = € sin ®, on aura A = cos À, et en omettant le signe de Q, __ Csins,

cos À ?

dans l'exemple proposé, on aura 6 = + &* — (=), et

logé = 5.217963 47486.

Nous nous proposons de calculer jusqu’à douze décimales les valeurs de E; alors les quantités Q auront huit chiffres significatifs au plus, de sorte qu’elles pourront être calculées par les Tables de logarithmes à dix décimales, qu’on réduira à huit, et même quelquefois par les Tables à sept décimales seulement. L'opération principale, pour avoir log Q, est de déduire log cos À de la valeur connue de log sin À ; il suflira le plus souvent, pour cet objet, de tenir compte des premières différences données par les Tables, dans l’hypothèse de huit décimales seulement. Soit À la différence qui répond à /sin a, et B la différence qui répond à Zcos a, a étant l’angle de la Table, immédiatement plus petit que A; si l’on fait

; ‘ B lsinA= sin ar, on aura Zcos À = lcos a — <

Cette formule sera suflisante presque dans tous les cas, et le calcul n’en sera pas bien compliqué, parce que les différences B et A, ainsi que r, peuvent être prises en bornant les logarithmes à huit décimales.

Cependant si on voulait calculer £ cos À de manière que le résultat fût exact jusqu’à la dixième ou la douzième décimale, voici le moyen qu’on pourrait employer.

Soit a l’angle de la Table qui approche le plus de langle À, et supposons qu’on ait à La fois

IsnA=lsnaÆr, lcosA= [cos aZR;

il s’agit de trouver la différence R par le moyen de la différence donnée r; pour cela on aura la formule

R = rtanga(1 + EE),

ou

logR= log (r tang* a) Æ (r+ r tang* a).

716. Les règles précédentes pour calculer log Q, s’appliquent à toutes les valeurs de @ dans l'exemple proposé, parce qu’on aura toujours... . tang a << 1; mais si c et sin @ étaient tous deux très proches de Funité, tang a pourrait devenir très grand, et il faudrait employer un autre moyen pour caleuler la valeur de A qui fait connaître celle de lauxiliaire Q.

Alors A devra être mis sous la forme 4 = 4/(8* + c* cos* ®), et si on prend w tel qu’on ait

ang u =” = tang8 cos®,

+ ‘ b * - * il en résultera 4 = pl et de là Q = y sin 29 cosw, en faisant..... y = ee dans l'exemple proposé, on aura

log y= 5.430714 97464.

11 s'agit donc, pour avoir Q, de déduire log cos # de la valeur connue de log tang w; c'est ce qu’on peut faire, comme ci-dessus, avec une exactitude presque toujours suffisante, par le moyen des différences premières qui répondent à log cos w et log tang w. Si on veut obtenir une plus grande précision, soit 4 l’angle de la Table le plus approché de y; si l’on fait à la fois

l'tangu = ltangaær, lcou=lcosaZR, on déduira la différence R de la différence connue r, par la formule R=rsin*a(1 + Mr cos" a), ou log R = log (rsin*a) Er r sin* a.

Cette manière de calculer Z cos 4 qui fait connaître A et Q, n’est sujette à aucune exception ; elle peut être employée dans toute l’étendue des Ta- . bles qu’on veut construire , quels que soïent les angles 8 et @ ; en effet, on voit que l’angle # qui est 8 lorsque 9 = 0, diminue continuellement à mesure que ® augmente, et finit par être nul lorsque ® = 90°.

717. Par la formule Q = y sin 2 cos m, on voit que l’auxiliaire Q est nulle aux deux limites de la Table, savoir, lorsque @ = o et lorsque @ = 90° ; il y a donc entre ces deux points une valeur de Q qui est un maxi-

mum; ce maximum se détermine par l’équation tang @ = "4 TT == v A y cos

cos" 1 8” le cas de 8 = 45° que nous avons pris pour exemple, on trouve le maxi-

Dans

( c’est le point remarquable où l’on a Fp=+F"); alors Q =