CHAPITRE XVIL. . m

plus, à mesure que x augmente, et la formule (53) devient fort préférable, surtout si l’on a besoin d’une grande approximation.

179. Pour mieux apprécier la formule (60), essayons de déterminer combien :l faudra calculer de termes de cette formule, afin d'obtenir la valeur de £ avec un nombre à de décimales, où de manière que l'erreur soit moindre que 107.

On remarquera d’abord que le n°” des numérateurs Ÿ, £, af, 2£, 3 36, etc., peut être représenté par 2ÿ (7 sin*in7); or on a 8, =, A, ou 8,(1 +0,,)=4,; donc 8,(: +8,,)=2X (nr + sin"! +27). De là on voit que 8, a pour limite (: fn), et qu’ainsi lorsque 7 devient un peu grand, on peut supposer 8, — y/(iÿn).

Soit log R,= U,, l'équation R,= R,,8,À, donnera U,=U,, +

1 =ÙU.., — r= U., — v4 (x); d'où l’on déduit la valeur approchée

U, = const. — 2 VG@):

Ainsi, à mesure que x augmente, le logarithme hyp. de R, approche de plus en plus de la limite: const. — 24/ (3 Te); et son logarithme vulgaire, de la limite : const. — 2m V4 ) Si l’on veut dong que cette limite soit

—i, On aura 2 v4e M == cons. + 5, ou à peu près z = +M°£i", M étant

le nombre 2.3025, etc. On voit par conséquent que le nombre x augmente en raison du ar ë , et aussi en raison du carré du nombre de décimales qu’on veut obtenir.

Soit, par exemple, x=—0.01, ce qui donne 3—/ 100= 2M, —— = °°

aura à peu près a — ;; Mi"; dans ce même cas, x{ = 356== 0-00217; donc

si l’on veut que Z soit déterminé avec dix décimales exactes, il faudra faire i= 8, ce qui donnera = 4M = 9.2; donc il suffira de 9 à 10 termes de la série des R, pour obtenir ce degré Paceiltede Si l'on veut vingt décimales exactes, il faudra faire i = 18, ce qui donnera r— 46.5; ainsi la ‘série ” R devrait être prolongée jusqu’à 46 ou 47 termes.

Si l’on fait x=0.1, sera Là m et l’on aura = ?Mi; ide ce même cas, x —=0.043/4 ; donc, si l’on veut déterminer Z avec dix décimales exactes, il faudra faire i=9, et l’on aura n= 22, c’est-à-dire qu'il faüdra

514 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

calculer 22 ou 23 termes de la série, et pouf Pavoir avec vingt décimales, il en faudrait calculer plus de 100. La formule (53) exigérait atissi environ 22 termes dans le premier cas, et seulement 32 dans le second. Nous ajouterons qu’à égal nombre de termes, l’usage de la formule (55) est préférable, parce que chaque terme se déduit très simplement du précédent.

180. Pour faciliter le calcul des fonctions Z, dans tous les cas où æ n’est pas très petit, nous joignons ici une table des valeurs de la fonction V, calculée pour toutes les valeurs de x, de centième en centième, depuis &æ 1.00 jusqu'à x=0. Ïl nous autait été également facile de donner la table des fonctions Z, puisque la somme de ces deux fonctions est égale à la quantité — [{1 x), donnée immédiatement daris la table des logarithmes hyperboliques. Mais linterpolation pour les valeurs de & peu différentes de l'unité serait d’un calcul difficile ét peu exact dans la table des fonctions Z, tandis qu’elle est très facile dans la table des fonctions V. D'ailleurs, con-

naissant VŸ, on a immédiatement Z—/ (—)-Y —

Le calcul de la table dés fonctions V 4 été fait par la formule (54) ou par une formule équivalente, depuis x == 1.00 jusqu’à x — 0.80. Pour les valeurs suivantes, depuis x —0.80 jusqu’à x —0.06, nous avons préféré d'employer la méthode des ordennées moyennés, corrigée pour les dernières valeurs de æ, comme on l’a expliqué (art. 818), Enfin les cinq derniers termes, à compler de x=0.05, ont été calculés par la formule (60), qui donne la valeut de Z, d’où l’on tire celle de V.

181. L’interpolation de la table des fonctions V se fera à FPordinaire, par la série des diffétences, tant que + ne sera pas plus petit queo. 10; il deviendra seulement nécessaire d’avoir égard aux différences du cinquième, ou même du sixième ordre, lorsque x approchera de cette limite, et dans ce cas, 1! conviendrait d'employer la série des différences dans l’ordre de x u «

L'interpolation peut aussi se fauré en général, pat une formule dont lapplication s'étend jusqu’à des valeurs assez petites de æ,

Soit 4 le nombre de la table qui approche le plus de la valeur dormée æ=4-—a; où conhaît la-valeur correspondante de V(a), et per: consétpsent celle de Z(a) ; il ne s’agit done que d’avoir la différence y =2(@)= Has æ). Pour cela soit 26, ce qui donné Z= Η #; ; soit ensuité a é—#,

qu ae b<, où BI}, Emi soit A 322 bc, on aura