CHAPITRE XYIL 5ay dY — a

ER FREE, dont l’intégrale est L

+ 1 F ‘ si »

1 | . m2 gæ=trTee FA fr« > & de).

Connaissant Y, on obtiendra successivement les valeurs de 'T#, T1 et

enfin T , de sorte qu’on aura l'intégrale cümplète de l'équation différentielle proposée.

| e à 194. Dans cette intégrale se trouve la transcendante fŸ<—26fd£ qui, pour toutes les valeurs négatives de Ÿ, se ramène immédiatement aux __.

T(a, x). Carfaisant = —wet ensuitee °=æ, ou =æ li, on a I T = RS e- Fe (A—fos—e ‘dr),

et fo—ve ‘de = far(1)T" =T(1—2, x). Ainsi dans le ces de t négatif, lintégrale de l'équation différentielle proposée dépendra simplement de la fonction T(1—«, x),

Dans le cas de £ positif, on gnbstiugra à la fonction T(1—a,x), ce que

devient cette fonction lorsque | PE À c’est-à-dire lorsque æ est> 1; ou bien , pour éviter des transformations qui quelquefoissont embarrassées ee

ginaires, on conservera dans l'expression de T la transcendante fe—äat qui s’évaluera convenablement suivant les différens cas. Si «& est un nombre entier positif ou négatif, l'intégrale dont il s’agit s’ex-

. . LA LA LI éd primera dy Jours exactement, ou se réduira a la forme connue f= —

Si æ n’est pas un entier, soit} = =u, on aura fees ÉR me fase,

ce qui donne par le développement de ex, la valeur approchée

PT -æ ph 7 [rss POP ——— es “5 — etc.

On peut aussi mettre cette intégrale sous la forme 12 Par : . 4 }+e (2 u oo opter == pa 1— 4.3 a md, 8, ERphE re),

d’où résulte

528 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

SF = AU EE = a

Y 1—4,2— #4 tu. 6,5 mg

— + etc.,

série qui pourra étre divergente dans les premiers termes, mais qui deviendra toujours convergente après an cértain nombre de termes.

195. Si, au lieu de faire les substitutions dans l’ordre indiqué art. 172,0n les fait dans l’ordre inverse, on aura les équations suivantes qui serviront à déterminer les transformées successives en T°, T®, L°Gr—1), Team,

e =1+6 PE; æ° E: 1 + ET, a°° = 4, Ce

Î | nm e Î + mn |

mr |

on + Go pTe, aus — y ma, 6 = a+Ee—a,

= | F5 = 1 + Gong Tee, an = Gesss — € 3 ; elc., etc., etc.

De là on voit que la transformée paire en TYŸ=Y, sera

RE 1 + = +(6 — 1} —ÿ =0,

et que la transformée impaire en T—9 — Y, sera

*dY t— + + | F Et (4 C—nX — m0.

Donc, 1°. si 6 est dé : à un es enticr positif z, la transformée de l'ordre 27se réduira à Péquation linéaire

°T ++) riz,

Le dont l intégrale est Y ne (A — fee Fa Si dans cette expression

site on à fait e x, ou =1:, on aura

Jere È = fdx (EE) =rh ex),

ainsi l'intégrale de l’équation proposée: en: T ere généralement au moyen de la fonction F(1—æ,x). .

2, Siæ +6 est égal äun narbes enlier positif ñ, la (ranslüritiée de l’ordre 21 — 1, se réduira à une équation linéaire,