CHAPITRE XVII. 529 LG — a) + QY

dont l'intégrale est

Li 1 Vaget ef (Ag ie FR); Sr s4 et en faisant toujours la substitution e © —x, on aura

fe 1 eu = fdx (2) ‘= T(a, x).

Donc alors l'intégrale complète de l'équation proposée s’exprimera au moyen de la fonction T(æ, x).

196. Il reste donc démontré qu’étant proposée l’équation différentielle,

at + + + é— m0,

on en pourra toujours trouver l'intégrale complète au moyen des fonctions T(a, x), considérées dans toute l’étendue dont elles sont susceptibles, si l’un des nombres 6,æ+-6, est un entier positif ou négatif,

Nous remarquerons que si l’on proposait l’équation différentielle

LP HAE + 1)Z+ BEZ'+ CG — Do,

où il y a quatre coefliciens constans À , B, C, D, cette équation pourrait être ramenée à la même forme que l’équation précédente qui ne contient que deux coefliciens constans, En effet , soit Z= mT+n,m et nr étant deux constantes indéterminées, l’équation transformée en T sera

me TE + BnrETe + (AE INT + Bat + n = 0 + 2Bmn£T + Ang — D + ©.

Déterminant nr d’après l'équation Bn°+ An+ C=—=o, faisant ensuite... m—=D—n, 6—Bm, æ— A+ 2Bn, on aura

+ Si + — me

équation entièrement semblable à l'équation (57). Donc l’équation proposée en Z sera intégrable si l’un des nombres

550 INTÉGRALES EULÉRIENNES.

BD + + À + 3 y(A° — 4BC), BD+iA—E: v'(A" — 4BC), est un entier positif ou négatif.

197. Nous remarquerons enfin qu’on peut donner à l'équation (57) une forme analogue à celle de l’équation de Riccati. Pour cela, soit d’abord

{= Ax", T=Bxy; soit ensuite m=—", B=—;, A=+., la trans-

Li L formée en y sera ÿ + na yn@x" ‘= o; «enfin faisant, ...

J—3senx" =32, on aura

Det (tie Cet — game" eo

Cette équation, qui est plus générale que l’équation de Riccati, sera donc intégrable si l’un des nombres 6,æ+-6, est un entier positif ou négatif. Dans le cas où l’on a 6 =—}— 14, cette équation devient. .......... .

=—2 Hs — jante" —0;elle sera intégrable suivant la théorie précédente, si l’un des deux nombres ?—+æ, 1 iæ, est un entier positif ou négatif; alors l’exposant de.x, savoir, 2 ; se réduit à la forme — ; À étant

un entier positif ou négatif ; on obtient ainsi les mêmes résultats que présente la résolution connue de l'équation de Riccati.