SECTION PREMIÈRE
Sur le Développement de la puissance (1 + a — cos pv.
1. Ok peut toujours supposer 4<< 1; Car sion avait 4 < 1, on mettrait : à la place de a, et la puissance à développer serait a (14-422 cosp)-", a étant < 1.
Cela posé, si l'on fait D = 1 + 4° 28 cos ®, et qu’on suppose
= P, + 2P, cos ® + 2P, cos 29 + 2P, cos 3 + etc.,
l'expression générale du coeflicient P(A) sera donnée para formule suivante où l’intégrale doit être prise depuis @ = 0 jusqu’à ® = +:
PO)! fine, (1)
En effet, on sait que lintégrale /'d cos A@ cos u@ prise entre ces limites, se réduit à zéro, pour toutes valeurs des’ entiers À et, pourvu qu'ils soient différens l’un de l’autre ; ainsi en substituant pour D" la valeur développée P,+ 2P, cos ®+ 2P, cos 29 etc., l'intégrale f D—*dp cos A@ se-réduira au seul terme 2P(à)fd@ cos A9, dont la valeur est #P(A), ce qui donne la formule (1). |
Cette formule réduit aux quadratures la détermination générale du cvefficient P(A); mais il importe de chercher une autre expression de ce coeflicient propre à ‘en fäciliter le calcul numérique -pour toutes valeurs données de 7 et de À.
TLeët nécessaire, pour cet ellét , de traiter séparément le as où l'éxposant ñ est un nombre entier, positif ou négaüf, et celui où x est un nônmibre"fractiunnaire, Darfs le premier cas, la-vatéur-du cofficient général P(A) peut être déterminée exactement par une fénction rationnélle de # êt de À ; dans le sceond câs, léscoeflidiens P(A:).sont en général des transeendantes qui ont
beaucoup de rapport avec les fonctions elliptiques et qui coïncident avec elles lorsque 22 est un nombre impair.
$L Solution du cas où l'exposant n est un nombre entier, positif ou négatif.
2. Nous ferons toujours a 1, D=1 + 4° — 24 cos @ et D = P, + 2P, cos @ + 2P, cos 2 ® + 2P, cos 59 etc.
Dans cette série, le coeflicient P (A) qui accompagne cos À, suppose 7 constant ; mais sion a égard à la variabilité de #, ce coefficient , fonction de deux variables, devra être désigné par P(A, x); on pourra en outre considérer P(à, 7) comme étant fonction de 4, et différencier, s’il y a lieu, ce - coflicient par rapport à a. |
Cela posé, on sait par la théorie des suites récurrentes, que la suite infinie 1 a cos + 4° cos 29 + 4° cos 59 + etc., n’est autre chose que le dévelop-
. 1— a cos “ :
pement de la fraction TE , Suivant les puissances ascendantes de a.
De là on déduit l’équation 1— 0 1— 240089 + a*
= 1 +24 c0s @ +- 2a* cos 29 +- 24° cos 39 + etc.,
ou
Di — —"—f; —+ 24 cos ® + 2a*cos 29 + 2a°cos 39 + etc.) ‘ ce qui fait voir que dans le cas de r—1,onaen général à P(à;, =>. (2) Au moyen de cette valeur, nous allons déterminer successivement P(A, 2), P(A,53), et en général P(A,n), n étant un nombre entier positif quel-
conque.
1 fd@ cos 19
te me me
3. Pour cela différencions par rapport à a l’équation P (à, »)= = De
nous aurons
dP (à, ) + =! fe (2 cos ® — 2a);
multipliant de part et d’autre par a et mettant au lieu de 24 COS @ — 24" sa valeur 14" —D, on aura
De+1 7 D: Le second membre de cette équation se réduit à n(x—@)P(A,n+ 1)
adP (a,n) n d? cos à d RQ EE (1e) fée 2 farce,
SECTION I. 533 — nP(A, 7), donc on a | P(A,;n+1)=— nr 2 (3) Ainsi le coefficient P(A, n + 1) se déduire en général du coefficient P(A, n), au moyen d’une simple différentiation faite en regardant a comme seule variable ; et puisque nous connaissons la valeur de P(A, 1) par la formule (2),
nous en déduirons successivement les valeurs de P(A, 2), P(A, 3), etc., savoir : :
PQ) Di + 1e — D], P(,3}= = ns [CA + 1) (à 2) — 20%(à + 2) (à — 2) + af(a— 2) (a —1)],
POP 23 : gl) cha) G4+3)—3a"(a-a) (4-3) O3)
+BaM(a4+3) (25) (2) (a—3) (2) (a 1)], PO El 1) Gta) (O3) Cafe) C3) (a) a) A6a(a+-3)( +) 0 —3)—hat +4) 4) 3)0—2) +a4(2—$) (23) (2) Ga),
etc. }
La loi de ces expressions est facile à saisir, et en général la valeur de P(n, À) sera donnée par Ja formule suivante :
Fa à .À à +3 ,,, à — PO; 2)= — a) * si ERRES me PE -B,
— mat TD — À—!] D— 1,.Nn— 2 Pi ho Ji À = 2) ET un te apauge À RE Le Dh. =D Ni à 3 1.2.3 ge. A+ 1.a+2.2 43 — + etc.
Pour s'assurer de l’exactitude de cette formule, il suffit de substituer la valeur générale de P (A, 7) dans le second membre de l’équation (3); on trouvera, après les réductions, une valeur de P(A, n-+1) qui ne sera autre chose que ce que devient la fonction P(A, n) en mettant 7 + 1 à la place de 7. Tout autre mode de vérification serait moins facile que celui que nous indiquons.
4. Le cas le plus simple est celui de n = À + 1 ; alors B ou B(A, n) se réduit à son premier terme 1, et on a
d cos xp a AI. +H2,..22à PUR AS) ef Rs
T. Il. 86
Un autre cas qui mérite d’être remarqué est celui de A 0 ; alors on a — 1, m2 NN" 6 (5) P(o, n) = TG a te) a + ——— = — __—— at + — 1.2, RE TE =) e +ete. ]
formule dont les coefliciens sont les quarrés des dons du binome élevé à la puissance » — 1 ; elle donne en même temps la valeur de l'intégrale
a jp» prise depuis @ — 0 jusqu’à ® —#.On aurait par exemple, fS= à Tr (1 + 4e + G'af + faf + at).
5. La formule ne laisse rien à désirer lorsque # est un entier positif, mais elle ne peut s'appliquer au cas où # est un entier négatif; c’est pourquoi il est nécessaire de chercher directement la solution de ce cas, c’est
. à "ET e: . 4 + , 4 à-dire la valeur générale du coeflicient P(A,—n#) donné par l'intégrale définie = SD"dg cos A@. Or, sans passer par les cas particuliers, on peut déterminer tout d’un coup la valeur de cette intégrale.
En effet, le polynome 1 — 24°cos + a* étant décomposé en ses deux facteurs imaginaires, on aura
D=(1—aev-1)(r Er |
si ensuite on suppose à (ia eV} = 1 EEK, eV LKR, env... HRK, en v—t petc.,
on aura semblablement oui
(1 — dev: } = LE Ke v—1 + K, envV—1,,,+K, eV etc.
Multipliant ces deux équations l’une par l’autre afin d’avoir la valeur de D”, et observant qu’il suffit de conserver dans le second membre les termes affectés de esv—1 et e—wv-—1, puisque ce sont les seuls qui ne disparaissent pas dans l'intégrale cherchée, on aura pour cette. partie de D* la valeur
AK Kat Kits KR bete.) (05 V1 ee);
mais le facteur erv—-1Le-wv-—1 se réduit à 2 cos 19, et on a entre les
limites données fd?. 2 cos* Ag = æ; donc la valeur générale du coefficient P (A, —n) est
P(A,—n)=K,+K, Kig: + KiKiga + KsRi+3 + etc. ; or, on a par la formule du binome
K, nn EL ant CORTE D à dt (=s),
