A1.a+2,a+3 + etc

6. Remarquons que dans l’application de cette formule il faut supposer n—ou >; en ellet, si n était A, le développement de D" ne pourrait donner aucun terme semblable à cos A@; ainsi l'intégrale J'D"d? cos À#, prise entre les limites données, serait nulle. La plus petite valeur qu’on puisse donner à x est donc n—À, alors on a D" dg cos Ag=7(— a)", ce qui se vérifie immédiatement.

Le cas de ÀA=— 0 mérite encore d’être remarqué ; alors on a

SD'dp=r [1 +na + (= 2) at + sn) a*+etc.) (7)

Comparant celte formule à la formule (5), on en tire

JD'dp = (1 — a+: ES ; (8)

ce qui établit un rapport remarquable entre ces deux intégrales définies ,

rapport qui aurait lieu quand même n ne serait pas un nombre entier et d'où lon déduirait aisément la formule de l’art. 148, tome I.

En général, si lon observe que la valeur du cofficient C n’est autre chose

que celle du coefficient B dans laquelle on aurait mis 7 + 1 au lieu de »,

on en déduira un rapport remarquable entre les intégrales / D"d@ cos A@ et

f Len. Ce rapport est donné par l'équation suivante, dont l'équation (8) n’est qu’un cas particulier,

SOég ons 9 pe ee RS. 6)

7. Les formules précédentes résolvent complètement le problème du dé= veloppement de la puissance D", lorsque l’exposant n est un entier positif ou négatif; elles peuvent même s'appliquer au cas où l’exposant # ne serait pas un nombre entier; mais alors la suite qui exprime la valeur du coefficient P (A, #) s'étend à l’infimi, et on ne peut plus déterminer que par approximation les coefliciens successifs P,, P,, P,, etc., qui deviennent dans ce cas des transcendantes d’une nature particulière; d’où naît cette sorte de paradoxe que le développement d’une quantité algébrique telle que D" ne peut s’exéculer qu'avec des coefliciens de nature transcendante. Nous examinerons ci-après les propriétés de ces coefliciens, afin de faciliter autant qu'il est possible les calculs nécessaires pour leur détermination ; mais nous saisirons cette occasion de démontrer ici uue formule assez remarquable qui a lieu dans le cas den =}, et qui paraît ne se rattacher à aucune autre formule du même genre.

8. Si on fait z—+ dans la formule (4) et que iilnnt on mette au

lieu de Lake An n.n+i.n+2.. nt

ET , la fraction équivalente TE

La on aura 7P(A, :) ou

me D x 1-3.6.,.2x—1: ; 2a+1 2a+1,.2a+3 D* a Ten He. 2a 42 "4 a tsaxté + ete.)

de si sin*

—J va—& Tr

Mais si l’on considère l'intégrale Z — , et qu’on développe

la quantité sous le signe, on aura Z =[fd9 (sing + + a, sin+2g + at. sin+{@ etc.)

Effectuant l'intégration de chaque terme entre les limites®g=0, 9=7#,

d’après la formule connue fd@ sin" — LR TT, OD aura

ee 1.3.5., 2à— 1 2à+1 1.3 <: 21.23 .

Z=7. 2.4.6. = (: t+sa. 2h42 Es 2.4" ‘pa. ae jp ): et puisque cette de est la même, au facteur & prés, que celle de

Fa = a on aura en général la formule

dg cos xp de sin”?

Po Va ra cg): frs Vü — a sin g)? (10)

où les deux intégrales sont prises depuis @= 0 jusqu’à ® =7.

La valeur du coeflicient P(A, +) que donne cette formule, peut se tirer directement d’une intégrale comprise dans l’art. 123, tome 1. Cette intégrale est en général

1 — asinté | dÿ ni Détangé .

1 — 24 sin°# cosg + a’sinté * W/(1— a"sin"é) pi ren ne V{i—asin"6) ? et si on la prend depuis Ê—0 jusqu’à 8=—#, on aura D'* 1 Î 1 — asint8 dé . — #J 1 —2asin"écose + a*sint8 * W/(1 — a sin)" Développant la quantité sous le signe par la formule qui sert à exprimer Dr, dans Part. 2, on aura n-ii dé É ; 4 D °=- VG = Gi + 24 sin°ÿ cos ® + 2a sin fcos 29 + etc.)

Ainsi on voit que dans le développement de D” 3, le coeficient P(A, ?) sera

en général = en. celte intégrale étant prise depuis Ê—0 jusqu’à 0Ê— 7.

On pourra toujours déterminer la valeur exacte de ce coeflicient par les fonctions complètes F'a, E'a; mais si on voulait la déterminer par les qua- À . 2 dratures ; la forme — ne x serait beaucoup plus facile à calculer x J Va —@sin fé) dô cos x6

LE PE) où l’ordonnée ne suit pas une marche

que la forme - L A aussi régulière.

LA * Il résulte aussi de l’expression P(A, +) = f[ 7 il Fi que le coef-

VU — a sin" 6)?

ficient P diminue continuellement à mesure que e nombre des termes À augmente, tant à raison du facteur constant 4*, qu’à raison du facteur variable sin 8. Cette expression fait d’ailleurs connaître deux limites entre lesquelles le coefficient P(A, +) sera toujours contenu; on aura en effet

ts PAS 1) > + Jd8siusg > a. D & fdisin”8 à 1.3.5..2a — à

” P(A, 5) < = J VU — a) = Va)" 2.4.6..2

Nous remarquerons enfin qu’en différenciant par rapport à 4, le coefficient P(A, +), on en tirerait la valeur générale du coeflicient P(A, 2) pour le cas de n= ?, wais cette valeur serait moins simple que pour le cas den= +.

538 APPENDICE, $ IL. Solution du cas où l'exposant n n'est pas un nombre entier.

9. Supposant toujours que le développement de D* est représenté par la suite

P,+ 2P, cos ® + 2P, cos 292 P, cos 3... + 2P, cos A betc.,

l'expression générale du coefficient P, ou P(A), sera donnée par la formule (4), en y faisant le changement indiqué dans l’art. 8, on aura ainsi

nn+i.nte,..ntHa—i a Ir Ain TN Hdi an D a ee 1h. 2m in. À 2 ai 12 A. Br Din. Aa A3 à 12 ‘AI. A+2 T 1.2.3. - AH 1.ah2.243 at etc).

Une autre expression de ce même coflicient peut se tirer de la formule (6), en y changeant le signe de n : cette expression est

2 ee

nent. ne. Ta n n+à a (13) P(a)= 1.2,3,..À “a (à LS *àhi° PE 1.2 Ad1.a42 n.n+ki.nb+a FORT PP ETS 6 Tr rat NÉUAEERRS +ete.)

Cette formule renferme une suite moins convergente que celle de la formule (11), mais elle jouit de quelques avantages particuliers; elle fait voir , par exemple, que » étant positif, les coefliciens différentiels successifs de @) ddP (à) ŒP (à) da ? de ? dé #