Soit V
, etc. seront tous positifs.
Dre , On aura en différenciant cette équation,
sin À,
xd CCE NE 2a(n—1})sin
dV = ut ç ACTE dg et en réduisant au mème dénominateur ,
dia) à. PM (atn—i)a, PACE
| ie da —(A—7+i)a. de + 0e ».
intégrant de part et d’autre depuis ® = 0 jusqu'a = 7 , et observant que dans ces deux limites V s’évanouit, on aura d’après l’équation (1),
(15) (A+1—n) P(A+1)— (ÈS) AP (AH (Am rep) PA) = 0.
Cette équation donne la loi générale qui lie entre eux trois termes conséca-
tifs quelconques de la suite P,, P,, P,, etc. ; elle fait voir qu'il suffit de connaître deux termes de cette suite pour déterminer lous les autres ; mais il y a des précautions à prendre, suivant les différens cas, pour que l'erreur qui peut exister sur les deux termes connus ne se multiplie pas dans le calcul des autres termes, de manière à rendre bientôt les résultats entièrement défectueux.
11. Si on fait P(A) = Denis mhat æ&. A(A), et qu’on substitue
1.2.,..4 cette valeur dans l'équation (4), on aura n—n" s s ep G4) + En) A (+1) (1+a) À JA 1) =0. Cette équation exprime pareillement la loi qui règne entre trois termes consécutifs de la suite A,, À,, A,, À,, etc. En supposant celte suite connue, le développement de D" serait donné par la formule
D-"— A +24." A, cos + 24°, ? | 2e À, cos 29 + 24%. nntints A, cos 39 etc.
Lorsque À est ti grand, l'équation (14) donne à très peu près A (AH DE RE AG) À A 1);
d’où l’on peut conclure que la série A,, À,, A,, etc. doit se confondre dans
les termes éloignés avec une série récurrente dont l'échelle de relation est 1 + a
des coeficiens constans. Ainsi lorsque À est très grand, on doit avoir aussi A(A)=at+é (2): Mais comme , d’après l’équation (11), la valeur de A (A) ne doit contenir aucune puissance négative de a, il s’ensuit qu’on a 6—0; et qu’ainsi À étant très grand, on aura À (A)=«, ou A (A) égal à une constante. Cette constante se détermine en faisant À infini dans la valeur générale de A (A) donnée par l'équation (12}, laquelle est
n n À sr 7: nt n+a.n+abit (15) DOME is PE au a AMITIÉS atetc., et on a par soi supposition A (A})= (1 — 4°)", Mais ce résultat n’est que le premier terme d’une série propre à exprimer la valeur géné-
rale de A (A), lorsque À est très grand. Voici comment on, parvient à çetle série.
Fan Bi celle-ci aurait pour terme général &æ + 6 (=), æ et 6 étant
12. Faisons, pour abréger, À + 1 = À, À + 2 = À", etc., et supposons
AG) = a(1 + D + Es pe + ete),
c', c”, c'", etc. étant des coefliciens indépendans de à ; cette valeur donne AG) — AG + 1) 6 (+ + ET + etc. ), - AG 1) — AG + 2) = a (tnt promos + etc. );
multipliant le second membre de la dernière équation par 4’, et obser-
vant que À'= A" —2 = A"—52= À"—4,etc., on aura, après avoir divisé par À,
A(A+1)—A(X +) (+ QE PR RE + etc).
ESS AAATAN EFNSUU
Maintenant si on met l’équation (14) sous cette forme : OA (A)—A(A +1) a [A (A1) A (A2) + Tr at A (A +2),
et qu’on substitue les valeurs précédentes, on aura une équation qui devant être identique, donnera les équations de condition (Gi —a)c =(n" — na, 2(s— a)" = (nt — n — 2), 5 (i—a)c"= (n° — n — 2.3)ac, 4G—e)co"= (nr — n — 3,4)ac", etc. ; :
d’où l’on déduit les valeurs des coefficiens
FE
nh1.n—2 a*
d'in, ES, aka. m3 a"
a 7 3 " rer
donc on a la formule générale
SECTION 1. 541 ae A — 1 n a A(x)=(1— 0") Ci +. Re Din—=2 n.n+i æ \»
(16) FE hat Vs Tnt , == , 3 n.n+i,n+ a* \3 + 1.3.3 Ÿap1.242,2243 * ss) ete. ] Cette suite a l'avantage de se terminer d’elle-même, toutes les fois que » est un entier positif ou négatif; mais si » est fractionnaire, comme nous le supposons, elle s’étendra à l'infini et ne sera convergente dans toute
son étendue et pour toute valeur de À, que lorsqu'on aura a << 1— at ou 4° <>.
13. Dans tous les cas, si À est fort grand, on aura une valeur très ap prochée de A (A) par les premiers termes de la série, qui décroîtront alors d’une manière rapide. Dans cette hypothèse, si on prend le logarithme de A (A), et qu’en négligeant les termes qui ont pour diviseurs À°, A4, etc. , on
réunisse deux termes tels que À + 4 en un seul —
, On aura log A(A)= — 7 log (1 — a*) Hs.
D’un autre côté la valeur de P (à) peut en général se mettre sous la forme
P(a)= CT) A (à);
Car (+1) :
et puisque À est supposé très grand, on a par la formule de l’art, 74, T'(Aakn — mn un og re) = (n—1) log À + #2 + DC = an),
donc on aura A log a +-(n— 1) log A—n log (1— 4°) Jog Tn —… M —n (n° — n)a* (ENTER EUUES Fans tite)
valeur qui doit être exacte aux quantités près de l’ordre 5; el dans laquelle
il faudra multiplier les deux termes algébriques par le module m=— 0.434, si on veut que les logarithmes de cette équation soient changés en logarithmes vulgaires.
Nous devons observer, 1°. que si a était négatif, le terme À loga sera toujours le même que si à était positif, mais alors P(A) sera affecté du facteur
(— 1}, ce qui rendra P(A) négatif si À est impair; 2°. que si l’exposant x était négatif, c’est-à-dire si on avait à développer une puissance positive du polynome D, alors il faudrait dans le terme — log Tn, mettre la valeur que prend la fonction l# lorsque sa racine r est négative, valeur donnée par la formule (43) du chap. XV ; et dans le cas où cette valeur serait négative, on devra la considérer comme positive dans le terme — log Tn, et changer simplement le signe de P{A).
H suit dè ces deux observations, que le coeflicient PLA) ne deviendfa négatiPque dans le cas où la quantité a Tn serait-négative.
On peut donc à l'aide de la formule (17) connaître d’une inanière aussi prompte que facile, la valeur et le signe d’un terme éloigné quelconque dans la suite P., P,, P., ete. Si par exeuple on fñta=£#,nz}À, = 100, on trouvera log P,,., = 8.6430084, et P,,, —0.04596412; c'est la valeur trés approchée du 10 1° terme dela suite dont il s’agit.
14. Revenons au calcul effectif des coefliciens P, , P,, P,, ete. Lorsque a sera assez petit, on pourra se servir des formules (11) ou (12) indifféremment, pour calculer les coefliciens successifs qui seront donnés alors par des séries convergentes, mais il suffira de calculer directement par ces séries les termes alternatifs P,, P,, P,, Ps, etc., et on en déduira les intermédiaires P,, Ps; Psretée, au RE GE (13) LR en général
cette équation est d’un usage PR sûr, soit que a soit très petit, soit qu'il diffère très peu de l'unité,
Si on se bornait à calculer les deux premiers termes P,, P, par les séries qui les représentent, et qu’ensuite on se servit de ces deux premiers termes pour calculer les suivans par l’équation (13), les erreurs se multiplieraient dans:ces diverses opérations, avec d’autant plus de rapidité, que a serait plus petit. En effet, les erreurs — sur P,, P,, P,, etc. pourraient croître
suivant Ja progression À REA . etc.; et comme ces termes eux-mêmes décroissent à peu près PE hi progression a, a*, a’, etc., l'erreur relative pourrait augmenter d’un terme au suivant, à peu près dans le rapport de x à ï . « “ * La +,
SF: erreur qui ne tarderait pas à produire des résul{atsentièrement défectuaux,
Lorsque a sera très près de l’unité, les séries comprises dans les formules (11),et (12) seront très peu convergentes, et il fandra .en: calouler-un grand nombre de termes pour avoir, avec un degré d’approximetion suffisant, les
SECTION 1. 543 deux premiers coefficiens P,, P,; hais dans ce cas, on pdtifra $e servir de l'équation (13) pour calculer les coefliciens suivans P,, P,, P,,etc., etilne sera pas à craindre que l'erreur augmente notablement d’un terme au süivant.
15. Au reste, on peut éviter les longueurs du calcul par séries, en déterminant les deux coefficiens P,, P, par les quadratures qui représentent les intégrales JE Gr LE = Li g , prises depuis @ = o jusqu’à P= #7. Mais dans le cas où a est peu Sférent de l'unité, la quantité D devient très petite lorsque ® est très petit; #insi l’ordonnée de la courbe qu'il faut quarrer, serait très grande vers l’origine des abscisses. Pour obvier à cet inconvénient , nous observerons que l'intégrale [ ca De peut en général être déterminée par l'intégrale [Dr dp cos 9, puisqu'on a par la formule (9)
JR = Et 1.n+H2....n#a— 1: (1 a) [Dr dp cos À9,
D 1—n.2—n.3—n....à—n Soit donc / D"—'dp cos A@ == "M(A), et on aura P(à) = n,n4inta....nea—1 M()
AD he me de em D sol (rat) Ainsi tout se réduit à trouver la quantité M(A) pour les deux valeurs A=0,2ÀA= 1,et on aura les deux coefliciens cherchés Sn Me pp = M, CET TT RS CET
Or quelque petit que soit 1 — 4, on poutra toujours trouver par les quadratures, des valeurs aussi approchées qu’on voudra de M, et M,; mais pour faciliter les calculs, il sera bon de supposer x > 1, afin que l’ordonnée D"! cos A de la courbe à quarrér, reste très pelite lorsque ® = 0, ce qui n’arriverait pas si n était & 1. Cetle coudition au reste est facile à remplir duns tous les cas; cat un verra bientôt que le développement de D“+* peut tottjours se déduire, par un calcul très simple, du développement de D*",
16. 1] y a encore une autre mauière de calculer les coefliciens P(A), laquelle a l’avantage de réussir égalèment lorsque a est très petit et lorsqu'il est très près de l’unité. Supposons qu’on veuille prolonger la suite P,, P;, P,, etc. jusqu’au terme P,.,; on calculera directement les valeurs de A(m— 1) et A(m), par l’une ou l’autre des formules
Be.
je Ps DA à nent nb+aà,.n+Ha+1 ARE ET GUÉr- 71" Hèu (18) SE In tin qe 2 Ah tn. A2 rs AQU —a) + a EE diet. ) .
Ces deux termes étant connus, on en déduira tous les précédens, depuis A(m—9), A(m—3)...... jusqu’à À,, au moyen de la formule (14) qui donne
A(A— 1)= A(A)+a[A(A) — A(A + 1 J + sn aA(à + 1). Il ne restera plus qu’à substituer ces valeurs dans la formule
"= À, + 24. *A, cos ® + 24°. — RH A , COS 29 Ja MERE 4, ons 5 ete,
et on aura le développement cherché de Dr*.
Dans cette méthode, les quantités À,, A,, À,, etc. sont évaluées avec un degré presqu’égal d’exactitude, parce que la formule dont on fait usage ne permet pas que l'erreur augmente beaucoup en calculant les premiers termes par les deux derniers. Il arrivera donc que les coefliciens successifs P,, P,, P,, etc. seront déterminés de plus en plus exactement à mesure que la série se prolonge plus loin; car les erreurs absolues étant les mêmes à peu près sur les coefliciens A(A), elles seront atténuées progressivement dans le rapport de 1 à a, sur les coefliciens P(A).
