PA = *[QA—1)—Q
ainsi on a successivement
ne Îl
na (Q, — Q, ?
etc.
Le
À l'égard du premier terme P,, il n’est point déterminé par cette formule 3 mais comme on a D°= (1 + 4° — 24 cos @) D", si on multiplie la suite Q. + 2Q, cos @ + ete. par 1 + 4° — 24 cos ®, ét qu’on réduise les produits de cosinus en cosinus linéaires, on trouvera que le terme indépendant de @ est (1 + 4°) Q, — 2aQ,, et qu’ainsi on a
Ces formules offrent, comme on voit, un moyen très facile de déduire les coefliciens P., P,, P,, etc. qui répondent à l’exposant #, des coefficiens supposés connus Q,, Q,, Q,, etc. qui répondent à l’exposant » + 1.
18. Réciproquement si on veut déduire les coefliciens Q(A) qui répondent à exposant n+ 1, des coefliciens P(A) qui répondent à lexposant 7, il faudra d’abord déterminer Q, et Q, au moyen de trois équations
Fe (1 + a)Q, — 24Q,, P, na (Qe — Q), G—n) Q = TT Q— (+ 7) Q
Ces équations donnent
CG e)Q = (1 + a)P, + TE, 24P,,
U Il
(1 — a)Q, = . 24P, + —- (1 a)P,, | ou plus simplement encore a | ; D DL = (21) Q@ + Q = = = ,
Q. éci Q. — P.——P,
Connaissant Q, et Q,, on calculera les termes suivans Q,, Q, étc., au moyen de l'équation (13), dans taquelle il faudra changer 7 en n+1 et P(A) en Q(A), ce qui donnera
G) An QR + Dæ LÉ AQO)— HN) OA — 1)
19. Maïs on peut pour le même;objet construire des formules plus commodes et qui serviront à calculer immédiatement les coefficiens Q(à), Q(A + 1), par le moyen des coefliciens correspondans P (A), P(A+ 1), P(A— 1).
Pour cela je tire, de l'équation (r9),
AP()= ne fQA—+ 1) — QG + 1)], (A1) PO 1) == na [Q(A)— Q(A + 2).
D'ailleurs équation (22) donne
(à — 2) QA+ 1) = LÉ AQ()— (+7) QUA— 1), (Air) Qa+2) = te (AH 1)Q(A+1)—(a-1-n)QU).
De jà résultent deux valeurs de Qu) exprimées, l’une par les deux termes P(A), PéA<+ 1), Faatre par les deux termes P(A— 1), P(A) ; ces valeurs
sont : ; ) de +2) re + a° Pa) — {a+ 1—n) 2& (ah) 1 (23) Fe. nn (An == 1) 2aP(a— 1) (a n}(1 +a)PQ)
Q(A) = m1 +— ay La combinaison de ces FR Haine eu donne une troisième plus commode dans la pratique, savoir ; :.
(24) QU)=— ss 0 0 SIREN NE anti) PG4-1) ]
Dans le cas déne=}, cette formule se simplifie et donne ce résultat remarquable,
(5) Q) = — Ja tn 2) CPR — 1) — PA + 1)],
20. Nous observerons que les équations (14) peuvent se mettre sous la forme suivante, plus commode pour le calcul numérique,
QG) + QA + = SORCIER (26) QG) " Qu 75) mn an) BG) HUE re) )PG+H:)
Dans le cas de n=—+, ces formules:se simplifient encore et deviennent QG) + QG + 1} = RPG) —P (a +1)], QG) — QR + 1) = PO) + P +1)
Le cas de ñ = + qui donne lieu à diverses simplifiçations, est celui qui s’applique spécialement au calcul des perturbations des planètes; il est susceptible d’être résolu complètement, par les fonctions elliptiques.
21. En effet, si Pon suppose = 7 — ad ete = fe op: aura... D=(1- a) (1—c sin), et les valeurs de P, et P,, données par la
formule (1), seront
pi 3 ad} Pe = D ÉerrTerrTr ÿ=o P: — 1 244 cos 24 . vais
(1+ a) V{(1— c* sin° 4)?
or, par l’art. 207, tom. }, on trouve
ee 2F'e (28) * x(1+a)?
= (1 + a) Fe—(1+a)Ee
xa(i + a).
Les fonctions complètes F'c, E'c sont rapportées au module c; mais il conviendra de les exprimer par des fonetions semblables rapportées au module c—4a, puisqu'on a ce = NE, Or par les formules de l’article déjà cité, on a F'e= (1+æ)F'e = (1+ a)F'a, E'ce = (140 )E'c — 8F'e =
TL E'a — (1—a)F'a, valeurs qui, étant substituées dans les. formules (28), donnent plus simplement
= P.. == Fa; (29) .
Li de EP, = À (Pa Era) 22. Nous rappellerons ici que pour calculer les quantités F'a,, £a, il
faut d’abord former la suite décroissante 4, 4°, 4°, a**, etc., par la même loi: queln suite dés modules ce; c*, c*, ett. Faisant ensuite
548 APPENDICE, = aVa* 2Va%
. DT Re. * etc.,
on aura, suivant les formules EDS dans le tome L
