D É+ + RE

De là résultent ces valeurs très simples des deux premiers coefliciens ONE AS . P, K, P, =; (K+H); ensuite par l’équation (13) on trouve le troisième coeflicient P, 5 ar, + 3H.

Substituant ces valeurs dans les Déni (21) et (22), on en déduira les valeurs suivantes des trois premiers coefliciens Q,, Q,, Q,, nécessaires au

développement de D'*,

G—aÿ?

Q, —= Q. —K — H, Q, — 1QHIQ a+=

Ces formules sont disposées de manière à rendre le calcul numérique des premiers coefliciens aussi facile Es est possible. Nous en donnerons bientôt des exemples.

Les valeurs précédentes supposent que la différence 1 — a n'est pas très petite, et dans cette hypothèse on n’aura jamais à calculer qu’un petit uombre de termes de la suite a, 4°, 4°”, etc., pour parvenir à des résultats aussi approchés qu’on voudra. S'il arrivait que 1 — a füt très petit, on ferait usage des formules (28), où 1 —c est encore beaucoup plus petit que 1—a, et on substituerait dans ces formules les valeurs de F'c et E'c, calculées suivant les méthodes que prescrit pour ce cas la théorie des fonctions elliptiques.

23. Nous avons fait voir quels sont les procédés les plus simples pour cal-

culer les divers coefficiens P(A), Q(A), qui servent à développer les deux puissances consécutives D", D—*-—", Si on avait à développer un plus grand nombre de puissances successives, telles que D", D=-", Ds, Det, on commencerait par la puissance la plus élevée, eL faisant x = m +3, on calculerait les coefficiens successifs P,, P,, P,, etc., qui répondent à cette valeur de 7.

Connaïssant le développement de D", il faudra en déduire successivement celui des puissances précédentes D"+!, D#+, etc. Pour cela il faut observer que si on a égard à la variabilité de 7, la fonction P{A) devient une fonction de deux variables et devra être désignée par P(A, 7). Or les coefficiens P(A, 7 — 1)se déduisent des coefliciens P(A , z) au moyen de la formule (19), qui peut être exprimée ainsi :

Go) PO,n—i)= CE, n)— PA 1, 2)].

Cette formule ne ferait pas connaître la valeur de P(o, #8 — 1); on y supplée par l'équation (11), qui donne

Au moyen de ces deux formules on déterminera les coefliciens P(A, 7 — 1), en supposant connus les coefliciens P(A, n); on calculera de même les coefficiens PCA, n— 2), par le moyen des coefliciens P(A, 7 — 1), et ainsi en rétrogradant, jusqu’à ce qu’on aît les coefliciens de toutes les puissances de D dont on demande le développement.

Nous proposons de commencer par la puissance la plos haute, parce que les puissances inférieures se déduisent avec facilité des supérieures, au moyen des formules (30) et (31).

24. On pourra aussi, si on le juge à propos, suivre une marche inverse, c’est-à-dire calculer les coefliciens P{A, 2 <+- 1) par le moyen des coefliciens

P(A , n) supposés connus. C’est ce qu’on exécutera par les formules (26), qui peuvent êlre mises sous cette forme :

P(A, m1) POcH:, rt) CPC nain P (CE 2, n) ent, - (52) pa, ni)—P(a+i, ni jeton (ne Il est visible que les mêmes formules serviront à déduire les coefficiens P(A, n + 2) des coefliciens P(A , n + 1); ainsi le développement connu de D" fera connaître le développement des puissances successives D", D"; D, etc.

25. On a va que deux transeendäntes connues dans la suite P,, P,, P,, etc., suflisent pour déternriner toutes les autres réprésentées par P(A) ou P(A, n), et par conséquent pour avoir le développement complet de D». Ces deux mêmes transcendantes safliront donc aussi pour déterminer tous les coefliciens représentés par P(A, n = Æ), et par conséquent pour avoir le développement de la puissance D—"**, 4 étant un entier quelconque.

De plus, si Pon compare entrelles les deux valeurs de A(A) ou A(A, z), données par les formules (18), on trouvera immédiatement

d’où résulte la formule

P@yn) ___nntHinta..sn#+ami, simon (55) PQ, 1—n) ere peser el se

laquelle revient à l'équation (9). En vertu de ce théorème, on connaîtra toujours exactement le rapport des deux fonctions P(A, n), P(A, 1 —n#); de sorte que l’une peut être déterminée par l’autre. Ainsi le développement de D—:+* peut être déduit immédiatement du développement de D", et réciproquement,

Donc les deux transcendantes qui suflisent pour déterminer en général les diverses valeurs da coefficient P(A, #), sufliront aussi pour déterminer toutes les valeurs du coefficient P(A, 1—n), ét par conséquent encore toutes celles du coeflicient P(A,—ÆHk-—n), À étant un nombre entier quelconque.

Combinant ce résultat avec celui qu'on a déjà trouvé, on voit que les deux transcendantes qui servent à former le développement complet de D", suffisent en même temps à former le développement tant de la puissance D—"** que de la puissance D'<#, £ étant un entier quelconque.

$ IL. Application de la théorie précédente aux cas de n=}etn=#, où lon montre l'usage des fonctions elliptiques pour faciliter le calcul numérique des coefficiens.

26. Exemple I. Soit a = ;5, et soit proposé de développer les deux puissances Di, D"*; le tableau suivant donne les valeurs des coefficiens ‘ successifs, jusqu’à ce qu’ils deviennent trop petits pour entrer dans le 10° ordre de décimales.

Ss

Les termes % la seconde colonne ont été calculés par la formule (11), en faisant n=2, et doonant à À les valeurs paires 0, 2, 4, 6, 8, 10; on en a déduit les termes intermédiaires par Ja formule de l'art. 14. Lu seconde ‘ colonne étant ainsi formée, on s’en est servi pour calculer la première au moyen des formules (50) et (31). On connaît donc par œ petit tableau, le développement des deux puissances consécutives D':, p'?, pour le cas dea=;"5; de manièreque l'erreur de la série ne pourra jamais s'élever à une unité décimale du dixième ordre.

27. Exemple IT. Soita = +,.et soit prpposé de dévdoppes les deux puissances D#, D”?

On pourrait exécuter les calculs comme dans l’exemple précédent, parce que les suites tirées de la formule (11) seraient encore suflisaimment convergentes; mais si on veut obtenir des résultats exacts jusqu'a Ja douzième décimale environ, on y parviendra plus promptement par les formules de l'art. 22.

En prenant poyr module a += += sin Z , la théorie. des fnctions elliptiques donne les valeurs suivantes :

de là on déduit, par les formules de l’article cité,

On continuera le calcul des quantités P(x, #) par la formule Ga — 3) PO 1, 5) = SAP, 5) — (2x +1) PO — 5, à),

et on en déduira les valeurs de P(A, :) par la formule (30), ce qui donnera les séries de ces coefhiciens, comme on les voit dans le tableau sui-

vant :

929000600ccco

LE o.

Le, Le o Le) (a)

28. On peut vérifier ces résultats en calculant les derniers termes P(xi,3), P(r2, 5) par la formule (11), ou encore mieux par la valeur . de P(à) que fournit l’équation (16), savoir :

LEUR LE DENT LE ne æ& 73 = | nu a* PA) 2 1.2...À + 1 ‘Ar 10

D 1.2 n.n1 a* nn 0 à (5

1,2 ras Qu ete).

On trouvera de cette manière, en poussant l’approximation jusqu’à la treizième décimale,

P(rr, :) = 0.00009 41873 680,

L'erreur des résultats précédens ne se fait donc remarquer que dans le 11% ordre de décimales sur P(r2, ?), et dans le 13"*seulement sur P(11, +). Elle pourrait être plus considérable, sans qu’il y eût une erreur d’une unité sur la dernière décimale des valeurs de P,, P,, P,, d’où l’on a déduit tontes les suivantes P,, P,, etc., parce que la formule (13) qui sert à faire ces calculs, a l'inconvénient, comme nous l'avons déjà remarqué, de faire croître les erreurs absolués suivant uue progression à peu près géométrique

dont la raison est au moins =; d’où il suit qu'après un nombre de termes

peu considérable, les résultats deviendraient entièrement défectueux. C’est au reste ce qu’on éviterail en suivant Ja route indiquée art. 16, mais les calculs seraient plus longs.

En jetant un coup d'œil sur le tableau précédent, on voit que les deux séries tendent de plus en ph | à se confondre avec une progression géométrique dont la raison est ? ou a. On prévoit dès lors de quelle grandeur à peu près seraient des termes beaucoup plus éloignés, tels que P(21,+), P(22, +) ; ces termes se trouveront directement, et ayec une approximation assez grande, par la formule (17) qui donne

| P(ar, £) = 0.00000 00671 35, P(22, ?) = 0.00000 141203.

On voit de cette manière jusqu'où il faut prolonger les deux suites, pour que les termes deviennent plus petits qu’une limite donnée.