Exemple III. Soit a—0.7253325, et soit proposé de td
jusqu'à neuf ou dix termes les puissances D° ë, Di,
On, calculera d’abord, par la théorie des Écices Se te les modules décroissans 4, &, a*°, etc., et leurs complémens b, Frs *, etc.; ce qui dannera les logarithmés suivans : +
.... 985933 78587 0774 Brosse iso 6 37438 4132 a... 9.262164 53174 5980... . 4°.:., 0:00259 66675 9680 ... 7:93060 24235 4992 .: D%.,... 9:99098 42237 9754
a... 7.923235 06436. 2327 b°®%,,.. 0,00000 00000 0000. On voit que, quoique 4 soit assez près de l’unité , il ne faut cependant prolonger la suite des modules que jusqu’au quatrième terme, pour Avoir
les quantités cherchées K et H approchées jusqu'à la quatorzième décimale.
Caleulant en effet çes quanttés par les formules K = VG : brhrebre), De LT), on'éure
Tor log K = 0.075670 85737 4070, 1.109318 71668 9482, H 0.10969 09424 8484.
Eu partant de ces valeurs, et suivant la même marche que dans l'exemple précédent, nous avons formé le tableau suivant qui contient les valeurs des coefficiens caloulés avec dix décimales, jusqu’au neuvième ou dixième terme. ;
O Toi CO OH O1 b À ©
Es
Le peu de convergence de ces séries exigerait qu’elles fussent poussées très loin, pour que les coefliciens devinssent mégligeables. On en jugera par la formule (17):qui, étant appliquée au .cas de += 50, donne
30. Puisque la théorie dés fonctions elliptiques peut faciliter beaucoup la détermination des coefficiens P(A, 1) et P{X, 4), dans le cas où a est très peu différent de unité, il importe d'examiner avec soin les eonsé+ quencés ultérieures qu'on pourrait déduire de <stte ‘théorie.
SECTION E, : 555 Soit donc proposée la quantité Dit a° — ja ce)"; sie fais p—2N —T,C= ve, et j'ai Dali sin* 4* on BF (1 4a)4,
en faisant A— ÿ/(1 — c* sin* À).
Du module c qui a pour re. inbes on déduit le
modulé suivant 0° par le formale 6° +7, laquellé donne dans e, çds
c=a,et son complément & = 4/ (1—a"*). Si ensuite on prend ant tiouvelle atoplitude À* qui satisfässe à Péquation trigonomiétrique tang (L°==4)— btang+, ou qui soit donnée par Ha suite d°=24— a sin 24 ++ae sin 44 — La sin 64 + etc., on aura la transformée suivante, où 4° représente 4/(1—c°* sin J°), PL 1 1+c de là on tire, en observant que € =4,
D' — A* a cos 1°,
(35) prise cet = Mais si on fait a° = ETAT D'=1-a—24° cos Pat", on aûra semblabletient (D*}* Æ (r + re ou À= ee 73 donc pr*
ou
220 o\a a° o GS) G+easene) te (ts EEE CS
31. La relation directe entre @° et:@, par laquelle ou-obtientrcette trattéformation, est contenue dans l’équation
tang (40 — 19°) set D coti
Mais pour qu’il n’y ait pas lieu à ambiguité, quand on veut déterminer g° par le nroyen de -p, à faut imaginer que l'arc #igmente indéfimirhent depuis la valeur zéro jusqu'à tant de circonférences qu’on voudra. Cela posé, l'arc @° devra satisfäire: à l'éqüation sin (@ + 4m —"ig0) 2e asin (La 4 1p*); d’où l’on voit qu’en désignant par 6 le plus petit des arcs qui ont a pour sint$, la ghantité 4-2 — 19 serx toujours renfernrée entre kes limites + 8 et — 8, de sorte qu’on pourra supposer 9° = 39 +7 + 8 sin À, A étant uni arigle qui vatie avéé ® ; e’ett-auissr cé qui résulte de’ læ série
30 = 37 + @ + a sin @ + 5a* sin 29 + ja* sin 59 + etc. Maintenant comme 4° sera toujours plus petit que &, puisqu'on a.......
PNR, la fonction (De) se développera en une suite
L,+ 2L, cos g°+ 2L, cos 29° 2L,, cos 39° + etc., dans laquelle le coefficient L(Æ) est en général la valeur de la fonction P(E, n), lorsqu'on fait z—— + et qu’on met 4° au lieu de a. Dans le cas de l'exemple ILE, on a 4°= 0.185308; ainsi la suite L,, L L,, etc., doit être fort convergente; on trouve en effet le terme....... L,,= 0. 00000 00007 733.
Cette suite étant trouvée, le développement de D°*, ordonné suivant les cosinus des multiples de ç°, sera
L, + 2L, cos g°+ 2L, cos 29°-+ 2L;: cos 39° +
DS TS ( 7) —G=añ(r + a°) { + 24/a°.sin 1° On pourrait, pour plus de symétrie, mettre au lieu du terme 24/4*.sini@", sa valeur ! :
V/a° 2 cos g° 2 cos 29° 2 cos 39° | (1 DUT DE © Se — etc.);
mais cette suite n’élant pas sent convergente , il vaut mieux ne rien éhanger à la formule.
- 32. Si on voulait avoir le due FA D”: ‘,on le déduirait aisément
de l’équation (1 — a*) D” 8 — A°— a cos N°, qui, étant élevée au cube, donne
‘ ‘ (1 — a D”* = A°(4°*+- 5a° cos" 4°) — a cos 4 °(5A°"+ a" cos"L°). Mais on a A°== 1 — 4° a° cos* 1°, d’où A°(A°%+ 5a* cos* À°) — 3A%— 3 (1 — at), a cos 4°(34°°+ a* cos" 4°) = af cos 34° + 3a cos L°;
donc
(1 — a) = 4A%— 35 (1 — a°) A° + 3a cos À° + «008 34°. Substituant les valeurs ° = D, 4e => = ++, il vient enfin,
(ia — a} D”* Le QD, HI sa sin sg + ain 1 @°.
Or on a déjà fait (Ds): = L,+ 2L, cos 9° + 2L, cos 29°+ 2L, cos 3° etc. ;
.-BECTION I. 557 supposons qu’on ait semblablement (De} = M,+ 2M, cos @° + 2M, cos 29° 2M, cos 39° etc.,
on pourra déterminer les coefliciens M,, M,, M,, etc. d’après les formules (17) qui donnent :
M, = (1 + 0°) L, — 2a°L,., M, = — jæ(L, — L,), | M = — ji æ@(L, — Ls),
M = — éæ(L, or L,),
On connaîtra donc le développement de D'À par l’équation
(1 — a) D Me + 2M, cos®° + 2M,cos 29° 2M, cos 39° +- etc.)
(38) + RL, + 2L, cos g° + 2L, cos 29° 2L, cos 39° ++ etc.)
Es 12@°+asinie",
et ces séries exprimées par l’angle @°, seront en général beaucoup plus convergentes que celles qui sont exprimées immédiatement par l’angle @.
33. On pourrait ultérieurement réduire le développement de D'* à celui
de (De): , dans lequel les coefliciens décroîtraient encore plus rapidement, puisque a**° est beaucoup plus petit que 4°, et il serait facile de continuer a volonté ces réductions. On a en effet les équations successives :
Ga a)D Ÿ= asin 4 + (D),
(De)° = — a°sin 4 pot (Dewÿ i
etc.
(De) = — 2° sin Lg" + (Dæ},
d’où résultent ces valeurs de (1 — a*) D”,
(x — a)D "= asinig — Ve sin 20° ou . 700" ÿ ;
(1 — 0*)D" À = asin 19° — VE ju ge" n = sin & qe
a dd æ L +. Va" 1e" 57e ) etc.
Mais à cause du décroissement très rapide de la suite «, a°, 4°, a°* , etc. ,
les quantités D°, D**, D°®, etc. tendront non us rapidement vers leur limite qui est l’unité; et à ce terme, le produit —— . EE x nd 2 P A aÿ/a * 2V/a°
sera ce que nous avons désigné par & , donc on aura généralement , (39) (x —a") D” Fe -asinto— VE sin Que — ve sin? Lou — etc.
Cette formule a beaucoup d’analogie avee celle qui donne la valeur d’un arc d’ellipse; elle forme une suite très convergente dont il suflira toujours de prendre un petit nombre determes, et au moyen de laquelle on exprimera en
quelque sorte rationnellement, la quantité irrationnelle (rat —ancosp) À Mais ce développement a l’inconvénient d’être formé avec des variables œ, p®, etc., toutes différentes les unes des autres, et par cette raison, la formule est plus curieuse qu’utile. Il n’en est pas de même lorsqu'on s’en tient à la première transformation , et il est permis de croire que l'expression que nous avons donnée de D”* en fonction de l'amplitude g°, pourrait s’apphquer utilement dans quelques cas difficiles de la théorie des perturbations des planètes.
34. Si l’on fait = 0, il en résulte Pr, p=35r, 9" = 17, elc., et l’équation (39) donne
! +a=g+a+ Ve st eye” RL Loc.
Ainsi on a eu général cette valeur der :
+= 5 2 __ 2V(aæ*) a Ve) ER Cette formule qui résulterait également de la supposition p=7, peut se déduire facilement des formules déjà eonnues; en effet on a a— Le ,
2V/a = etc. ; ainsi les différens termes de la suite précédente peuvent
s’exprimer comme il suit :
aa a ay/(a°a®) __ a°° ay/(a° 2h. 1 HP ae 2e 7 asie D" ipas.r pas. ipars lc.
On aura donc
= £ ge jm — etc K—'— 14e 1Ha.1 Ha 1,1 + 0,1 + a L
Cette série, selon qu’on l’arrête au 2°* terme, au 3"*, au 4", etc., donne successivement les résultats :
1 Li Li etc 1 Ha? 1 a, + a? 1 + 0,1 + 40.1 + a 77 Ainsi on aura en général K=(1-+ 4°) (14) (1H a), elc., ce qui est la valeur connue de cette quantité.
$ IV. Calcul des coéfficiens différentiels de la fonction P(x,») en faisant
varier à.
35. Proposons-nous maintenant de trouver les coefliciens différentiels de la fonction P (A), pris par rapport à 4.
Puisqu’on a en général P(x) = 1 - LT , Sion différencie cette équa-
tion par rapport à 4, on aura ES ESS (a— cos &), ou
ro = AGEEL de FAR S De RS), is comme ci-dessus Q(x) ce que devient la fonction P(àx) lorsque n se change en n + 1, nous aurons
(40) PO = n[Q(A—1)+ QU 1) — 2aQ 0).
Ainsi en supposant connus les coefliciens Q,, Q,, Q,, etc. qui appartiennent au ds nn de D—"—", on connaîtra les valeurs successives du coeftiae )
cient différentiel —== ; il n’y a pas même lieu à excepter le cas de1=0,
parce qu’alors on a Q— 1)}=Q,, et qu'ainsi la formule (40) donne dP, -hun n (2Q,— 24Q,.).
36. Si l’on veut déterminer les coefficiens différentiels o, sans sup-
poser la connaïssance des coefliciens Pa, m1) qui Hide à l’exposant 7} 1, et que nous avons désignés par Q (à), voici comment on pourra y en |
L’équation (19) étant mise sous cette forme
| À PO)=a[Q(A— 1) —Q(n+ 1), si on la différencie par rapport à a, on aura
