FOI
= (ana) PA) (ÈS Pr).
Si on change le signe de À et qu’on observe que la formule. . PQ) = (SE #2 donne P(— x} = P{à), on aura semblablement
562 APPÉNDICE, (45) PEN a PO EE (an — NP HP =).
Ces deux équations donnent par lenr différence! la formule (41); mais, pour #09
en déduire la valeur du coefficient thorces à l’équation (13), dont la différentielle est |
nn Ce ee ie C0) en Cm) et par la combinaison de’ces trois équations, on aura
(46) (1—a) — ACTES =(àa—1+n) rer) P(+1)+anaP(à). SC
—#, il fout engore recobrir
D'où l’on voit que le coeflicient. différentiel — À se détermine assez simplement par les trois termes consécutifs PGA), P(à), P(a+i);il pourrait se déterminer par deux seulement de ces termes, en éliminant le troisième à l’aide de l'équation (13); mais la formule qui en résulterait serait moins simple que la précédente.
59. Au moyen de ee au (46) on satvail trouver la valeur du coefficient différentiel a ®, exprimée per les fonctions P{n); fais cette ex-
pression serait fort Cons et la complieation augmenterait encore dans la valeur des coëefficiens différentiels des ordres supérieurs. Pour éviter cet inconvénient, on pourra former successivement les coefliciens différentiels de chaque ordre, à compter des deux premiers termes où l’on a A=0 et A= 1, par la-méthode suivante, analogue à celle que nous avons suivie pour les coefficiens différentiels du premier ordre, dans les art. 36 et 37.
De l'équation (41) on tire, par la différentiation, GC — dat E ER Ce- —2) Re HO EC 2aP(a) ]2a 270,
ainsi, on connaîtra les valeurs successives de ar ()) si on connaît les deux
da: s t dat o dat 1 .
} da ? da £
Or, par la différentiation des équations a on a ces deux formules :
(re) “a + )= 2 w x +
48) 2 La; a+) (re —7)= Eee =)
ainsi on voit que les termes D, Hiver 1 ts +86 déterminent .par des quantités
connues, puisqu'on ëst eensé avoir formé la suite des coefliciens différentiel du premier ordre, avant de passer à ceux de second ordre.
40. On peut encore simplifier cette détermination et oelle des cuefliciens différentiels des ordres supérieurs, par les considérations suivantes. On tire d’abord des équations (48). |
LP LL on “de” da da ? pe ddP, ddP, db. P.\ , 2P, da 7° de = an ( me )t d’un autre côté, les équations (42) donnent dP, dP Zn —4 L = (on — 1)Pes Lo = ap, :
DR MAT at
combinant entre elles ces équations, on en déduira les deux équations différentielles suivantes, pour déterminer séparément les fonctions P, et P,
(at) fr (4n ra) D — faPs = 0 , ji (ads) D Lo(énetr)a TL 4 (nt ja ]P, = 0.
‘De là on voit que le coefficient du second vrdre ae se déterminera directement par le moyen des deux quantités da et P., et que le coefhicient. ei
se déterminera de même par le: moyen de Pret à
41. Les mêmes équations feront cnuaître, par des différentiations répétées, les coefliciens différentiels des ordres ultérieurs. Ainsi re as relative à la fonction P, donne successivement :
(ae) 4L3({n +5)e] D —(4n' rent x Fee Pi 0,:
a HCH-Un-+9)e] LE ME Dani 124) mo, (50)
(ea) das (Sn : na£ M (noob a0 p6spaantrs)ÈPt 0
Ces équations dont il serait facile de trouver l’expression générale, font
voir que la série des coeficiens différentiels 5, Pa, ‘etc. peut être prolongée aussi loin qu’on voudra, et que chaoan d'eux se déterminera toujours par les trois précédens. n
42. Connaissant les coefliciens différentiels dela énitéin P,, on pourra en déduire ceux de P, par les équations successives. :
dP dP RE
en EE
di, AP nv — (51) et Pda
D Peu 1) Z d'P, : à : .d Ti = a Dr (n°4 2) Ta
etc, : He —. a nt es
équations dont la loi est manifeste. | On peut aussi déterminer directemênt ces coëlficiens, à compter du second pe , par les ee. successives ,
Ca réa nel D nain G eg FANS “HR Sant ai DS
(aa) +C3—(4n HN Sirirtase FARsleses 2e 0,
Ca) 34 —Gntro)e Te —({nt+afutaf a DRE —(rantagn tre) DE me,
etc.
ddP, ddr, 43. Connaissant les deux premiers termes du second ordre ==° “DS + “ur OU calculera les suivans par l'équation. déjà trouvée
CO RCD LT CE —1) Had) Cu a ae.
Cette équation étant différenciée successivement , donnera les formules suivaules :
este a Er à ss) 00 ++ EE) #2] Te) ,
. = P (55) 9 OT EE ED TO 4-2 Le PP(AHI) Ù C GE EG + +5 CS +1 PRO ES ,
ete.
Par les équations (50), (51), (52), on sr pour un ordre quelconque #, , Pi,
us F ; “da = :
équations précédentes, continuer indéfiniment le calcul des autres coefliciens différentiels du même ordre #.
Toutes ces formules sont disposées de manière que les quantités a et 1—4* entrent comme diviseurs au moindre degré possible; elles seront sujettes à quelques inconvéniens, lorsque a sera très petit et lorsqu'il sera très près de
les deux premiers coefliciens différentiels 2° on pourra donc, pat les
l'unité; dans le dernier cas, les valeurs du coefficient a) deviennent de
plus en plus grandes à mesure que # augmente; mais les formules précédentes donneront toujours à peu près le mème degré d’exactitude relative sur la valeur des quantités qu’on cherche; c’est-à-dire que le nombre de figures exactes par lesquelles elles sont exprimées, sera toujours à peu près le même.
44. Lorsque a est très petit, on peul éviter tout-à-fait l'emploi des équations précédentes, et déterminer directement les valeurs des quantités P(A) et de leurs coefliciens différentiels de divers ordres, par le moyen de la formule 7
LP 1 — à pop ett mit (0 x à Et arts 4e a+: : PER Lonté ete). En:eflet, si pour une valeur donnée de À, on calcule les différens termes de cette suite, que nous désignerons par Ca, C'a+3, etc., en sorte qu’on ait
P(A)= Ca + Carta + Cart 4 + C''art+6 etc. ; les coefliciens différentiels successifs de P(A) se détermineront immédiatement par les formules
ca + (ata)C +14) 'art 14 (a+6)0'a + 5pete., En. dr Ca ae ar Ca padté.at3.C'a tete, (54) PP (à) RE 2. Ca at AH Ca Ha b£.Àx+3.242.C'at pete,
etc., et on voit que les calculs seront faciles à cause de la convergence des séries, et de l'emploi répété des mêmes coefliciens C, C', C”, etc.
45. Nous remarquerons que les calculs sont susceptibles de quelque simplification, si, ayant à calculer les coefficiens différentiels de la fonction P(x)
T. IL go
qui fépond à l’exposant », on connaît déjà les valeurs de la fonction Q(à) qui répond à l’exposant 7 + 1: En eflet, d’après la formule (40), on aura successivement
= n(2Q, — 2aQ,.), — r(Q, + Q, —. 24Q,), = n(Q, + Qs — 2a0,),
etc.
NS JS MÈ
Pour avoir une expression semblable des coefliciens différentiels du second ordre, je différencie l’équation (40), et j’en tire
Roms dr "2 0) J’observe ensuite que si on met 7 +- 1 à la place de x, et Q à la place de P
dans les équations (44) et (45), on aura, en ajoutant ces équations,
22 4 RH, a SO tn + 9Q0)+ QU — QG +1);
substituant cette valeur dans l’équation précédente, on aura la formule
= an(an QG) (A —1)Q — 1) (à + 1)Q 0 1):
Ainsi on voit qu’au moyen des fonctions Q(A) ou P(A, 7+- 1), on pourra
déterminer les coefliciens différentiel du premier ordre AR par la formule
40), et les coefliciens diflérentiels du second ordre — LE ar la formule (55). > P 46. Dans le cas de n= ;, les deux formules PE et (55) donnent
