PO = 1(Q(A = 1) + QA + 1] — 4Q

Le — aQ() + = — te QG +)

Voici l'application de ces formules au cas de Vecemple NI, . 7 on a déjà calculé les première valeurs de Q(à), désignées par P(a, £

Le)

dP(à,:) da

PP(a,:) or -

La troisième colonne a été calculée par les formules des art. 41, 42 et 43. 47. On voit par le tableau précédent, que a étant peu différent de l'unité,

les coefliciens diflérentiels successifs —

da ?

dP(a) ddP(à) "da ?

da; —,etc., augmentent,

d’une manière fort rapide, d’un terme au suivant. Cependant dans le même

ordre £, les divers coefliciens ne) ne peuvent passer un Maximum après le-

quel ils décroissent continuellement, et finissent par être aussi petits qu’on voudra.

On pourrait trouver une valeur assez approchée de ai , lorsque x est

très grand. Pour cela il fandrait faire usage de la formule (16) qui donne

(57) PA)= Tara +1) Lt = à DONNE "abri Ga) ; À arm um nr. at$ " 1.2 ‘a+i.àxt2 “Gayate e |.

Soit donc ET = F(u,»), Fu, y») désignant une fonction connue

de a et des exposans ge et » ; on aura en ji :

d'P(a) r{a+n) n— da Cnr(a+1) .[re, NT 1 à + n

Nml.N=2 Ji]

+ Ta FerrR a . F(a+4 ; n-a)+ete. ] ‘ Lorsque à est très grand, comme nous le supposons , cetle suite est assez con-

vergente dans ses premiers termes, pour qu’on puisse négliger les termes suivans; la question est donc réduite à trouver la fonction F pour un ordre donné k, ce qui n'aura aucune difliculté tant que À sera d’un petit nombre d’unités.

$ V. Résumé général de la Théorie précédente.

48. 11 ne sera pas inutile de présenter, sous un même point de vue, les principales propriétés de la fonction P(a,7), que nous avons démontrées dans cette section.

L. Cette fonction est purement algébrique lorsque »# est un nombre entier positif ou négatif. Dans tout autre cas, les fonctions P(à, ») forment un genre particulier de transcendantes, qui a de analogie avec les fouctions elliptiques complètes de la première et de la seconde espèce, et qui se réduit à ces fonctions lorsque 27 est un nombre impair.

IE. Si on considère les valeurs de P(à, n), qui répondent tant aux différentes valeurs du nombre entier À, qu’à toutes les valeurs de x qui ne diffèrent entr’elles que d’un nombre entier, toutes ces valeurs peuvent se déterminer par le moyen de deux transcendantes seulement, pour lesquelles on peut choisir deux termes conséculifs, tels que P(4, n), P(Kk+:,n) ou P(&, n), P(4,n+1),.

IL, 1l en est de même des coefliciens différentiels Er A. : ae: en Ce n)

, etc. à l'infini, lesquels peuvent, dans les mêmes cas, être déter-

. entièrement par les deux mêmes transcendantes. Cette propriété que les fonctions P(à, 7) partageut avec les fonctions elliptiques complètes F'e, E'c, n’a pas lieu dans un grand nombre de transcendantes, et notamment dans les fonctions log Ta, dont les coelliciens différentiels successifs offrent des transcendantes différentes de la fonction principale.

IV. Les deux mêmes transcendantes qui déterminent les diverses valeurs de la fonction P(A, = Æ), à et # élant des entiers quelconques, peuvent aussi servir à déterminer la fonction P(x, 1—n=# 4), ou simplement P(à, Hk—n).

Ainsi en général, les deux transcendantes par lesquelles on peut effectuer le développement de D", serviront aussi à effectuer le développement d’un terme quelconque des deux suites nouses DE DE DE D sites ésoses D DPI DONS era

V. Quel que soit l’exposant #7, pourvu qu'il soit posilif, la valeur du coef-

Jai — Sera toujours positive,

VI. La plus simple des transcendantes désignées par P(, n), est P(o, n); si on la désigne par (7) ou +, sa valeur sera donnée par l’une ou l’autre des deux formules suivantes :

ni (2) a+ (LES à8 + (ES on EL mo a +etc.,

9) Yo)=(G— a)" C: HV « HS .n—2 a+ (— ne) a ml.

VII. Il résulte de la deuxième propriété ne moyen des deux fonctions consécutives An), (2 + 1), on pourra en général exprimer exactement la transcendante P(à, n), et plus généralement la transcendante P(x, En4#k); K étant un entier quelconque. Il en sera de même des coefliciens différentiels de cette transcendante.

ficient différentiel d’un ordre quelconque

49. Puisque la fonction P(o, x) ou 4{n) est la plus simple des transcendantes désignées en général par P(x, n), et qu’elle sert à exprimer ces transcendantes, nous examinerons succinctement Îles propriétés qui lui sont particulières.

On déduit immédiatement des équations (59),

(60) d(r)=(G—a) ed —n); d’où il suit que les fonctions 1](7), (1 —n), qui se servent en quelque sorte de complément, peuvent être déterminées l’une par Pautre.

En faisant # négatif dans celte équation, ou en mettant — 7 à la place de ñ, on a l'équation (Gr) J—r)=(—a) re d(t+ 2); d’où il suit que toute fonction 4{— n) dont la variable est négative, peut se changer immédiatement en une autre dont la variable est positive.

On peut réciproquement changer toute fonction (#) dont la variable est positive, en une autre dont la variable soit négative, pourvu qu’on ait #>1; cela résulte immédiatement de l'équation (60).

Lorsque n est << 1, la réduction ne peut plus avoir lieu, parce qu’alors # et 1 —n sont tous deux positifs. Ainsi la formule (60) donnerait, par exem-

ple, 4G)= (1 —@) 43), HO) (1 — 2)ÈHG), ce qui ne se rmpporte qu'aux fonctions complémentaires.

5o. Lorsque a sera très près de l'unité, on ne pourra que très difficilement

déterminer, avec un certain degré d’approximation, la fonction À parles suites (59); dans ce cas, on ne peut mieux faire que de chercher la valeur de

1 f'dg F J{#) par les quadratures. On a d’abord J(r)= - ; à ps; Mais cette valeur n’est bonne à employer que lorsque 7 est pipe parce que D étant très petit

pour les premières valeurs de @, l'ordonnée -> — de la courbe à quarrer serait très grande, si # était positif, Au moyen des quadratures, on trouvera donc très aisément la valeur de

A(— m), en employant la formule {— m) =: SD"d?, et cherchant la valeur de l'aire pour les limites p=0,p=#+.

Et puisqu'on a (m+1)=(1—a)"t-2d{(— m), il s'ensuit qu’on aura , par le même moyen, la valeur de la fonction (#7) pour toute valeur positive de 7, pourvu qu’on ait nr >> 1.

Il reste donc à voir ce l’on doit faire lorsque 7 est positif et € 1.

51. Si on fait V= = LA et qu’on différencie chaque membre par rapport

à @, on aura, âprès quelques ane

pr —(1+ an) (1 + at). T n® ; ;

intégrant de part et d’autre dans les limites fixées, et observant que dans ces

limites V s’'évanouit, on aura la formule

(62) o=n4(r)— (1-an)( + ani) (+) (a) J(n+2).

Cette formule, au reste, serait facile à déduire de celles qui ont été trouvées

ci-dessus pour les fonctions P(à , 7); mais nous avons préféré de la démontrer

directement.

2adV = (1 + n) (1 — a) À

52. Au moyen de la formule précédente, toute fonction (x), dans laquelle » est plus petit que l’unité, pourra s'exprimer par les deux fonctions Lin + 1), 4{(n + 2), dans lesquelles la variable est plus grande que Punité ; celles-ci se déterminent facilement par les quadratures , ainsi qu’on l’a fait voir dans l’article précédent : le cas de 7 positif et << 1 se résoudra donc de même par les quadratures.

On aura, par exemple, d’après la formule (62),

dG)=5(1 + 07) 46) — 46 — a) 4);

d’un autre côté par la formule (60), on a

JO=G—a) id), JMp=G—a) SJ —$).

SECTION L 571 donc Ga) 45 (1 + a) 43) — 4 —$):

et par conséquent J(+) se détermine au moyen de la formule a jy — QG +0) 3 f î G—e) dG)=-—— [D de — 7 [D'dp.

53. Connaissant les fonctions J{n), A{(n + 1), J{(n + 2), etc., au moyen

de deux d’entr’elles, on pourra de même déterminer les valeurs de leurs coefficiens différentiels successifs, pris par rapport à a.

En effet, de l'équation 4 (7) =- + ®, on on déduit —— AG 2 fla—cose) De Substituant la valeur à — cos ® = 2 tm ;il viendra Ho) — fe mL EN fi ce qui donne la formule (63) a D En (n)—n(1 — at) J(n + 1).

Ilest visible que par cette formule on pourrait obtenir la valeur du coeflicient différentiel se Ce, exprimée par les fonctions (7), 4{n+ 1), L(n+ 2),

ou nu par les fonctions 4{(n), L{n + 1), puisque N(n + 2) peut être éliminé au moyen de l'équation (62): on aurait de même Pexpression des coefliciens différentiels des ordres plus élevés. Mais on peut plus directement parvenir au même but par le moyen des équations (52), où la fonclion dési-

gnée par P,.n’est autre chose que 4(7) ou +. En vertu de ces équations on a d’abord |

(4) G@—e) Tite — gra) D — fa;

d’où il suit que le coeflicient différentiel du second ordre +, se détermine

directement par le moyen de 4 et de © ns , et qu'ainsi il peut ètre exprimé par les deux fonctions 4L{n) et {nr + 1). On voit ensuite par les mêmes

équations, qu’à compter de À; un terme quelconque de la suite +, +,

dd. d* di " , 2 4 etc. , se déduira des trois précédens, suivant une loi . il

serait facile de donner l'expression générale.

Des Quadratures.

À rnès avoir traité d’un grand nombre de transcendantes que l'on peut éyaluer avec plus ou moins de facilité par les méthodes qui leur sont propres, nous allons donner les moyens de trouver la valeur aussi approchée qu’on voudra d’une intégrale quelconque /ÿdx prise entre deux limites données, ce qui est l’objet du problème général des quadratures.

$ 1. Formules générales pour les Quadratures.

54. La question étant de trouver la valeur de l'intégrale Z=/ydx entre deux limites données, nous prendrons pour ces limites x =0 et x =; parce qu’on peut toujours fixer Porigine des abscisses au point où commence l'aire cherchée, de manière que Z et x s’évanouissent en même temps.

Pour obtenir plus facilement le degré d’approximation qu’on peut désirer, nous supposerons :

1°. Que dans l'intervalle donné depuis x =0 jusqu’à x= a, la fonction y reste constamment de même signe, et nous regarderons ce signe comme positif; s'il en était autrement, on chercherait successivement les différentes parties de l’aire situées de différens côtés de la ligne des abscisses , et on retrancherait la somme des aires négatives de la somme des aires positives;

2°. Que la courbure de la courbe, depuis += 0 jusqu’à x=4 , n’éprouve aucune varialion assez brusque pour que l’un des coefliciens®., D, Fete, devienne infini. Ainsi dans toute l’étendue de la courbe que nous voulons quarrer, l’ordonnée qui répond à une abscisse x +æ très peu différente de x, pourra s'exprimer avec une exactitude suflisante par la suite

J+a a+ . 3 + os . Pete. sans qu'il y ait lieu à exception pour aucun point. Cette condition est surtout nécessaire aux deux limites de l’in-

tégrale (*); elle est moins importante dans les points intermédiaires parce que, si elle n’avait pas lieu, on trouverait, assez facilement dans chaque cas particulier la correction que cette cause d’anomalie exigerait. (Exerc. de Calc. intégr., tom. 1, pag. 314.) ”

55. Cela posé, divisons en x parties égales la base a de l'aire que nous voulons évaluer, et soit a= nw; on pourra imaginer que laire cherchée Z est composée d’un nombre x de trapèzes curvilignes sur un côté, dont la base commune sera &, et qui auront pour côtés paralléles deux termes consécutifs de la suite Fo, Fo, F(2œ), F(3w)...F(nw), formée en supposant 7 =F(x).

Le premier trapèze est mesuré approximativement par £&(Fo+Fo), le second par + & (Faœ + F2w), ainsi de suite; donc Ja somme de tous le sera par la suite

w[2iFo+ Fo + Fan... LF(x— 0) + :Fx],.-

où il faudra faire x — a — nw. Cette suite étant représentée par 7©M ou aM, M sera la moyenne des x ordonnées +(Fo Ex), Fo, F(2w).... F(xæ—®), la première +(Fo + Fx) étant elle-même une moyenne entre les deux extrêmes Fo, Fx.

On peut encore évaluer, d’une manière approchée, le premier trapèze par «EF (io), le second par æF(£æ), etc., et la somme de tous par la suite

[Fiori wRF£Ee... + F(x—2u)].

Cette suite étant représentée par 7œN ou aN, N sera la moyenne des n ordonnées F1w,F3w,F 5... F(x—1).

Ainsi, nous avons deux valeurs approchéés de Paire Z, savoir Z = aM et Z=aN. Mais il reste à trouver la correction qu’il faut appliquer à ces valeurs approchées pour en avoir de plus exactes et pour connaitre en même temps le degré d’approximation qui correspond à la valeur prise pour # et qui doit augmenter à mesure que » est plus grand ou « plus petit. ù