Pour cet effet, soit V ou V(x) la somme de la suite
Fa + Fao + F3w.... + F(x—o)+F(x);
() La simple substitution x = #", où a — x =", sufbra, en déterminant convenable ment lexposant m#, pour faire remplir cette condition dans l’une des deux limites, au moins pour quelques-uns des premiers coefliciens différentiels.
T, Il. gt
si on met x— « à la place de x et qu’on: prenne la différence des deu x suites, on aura F(x)= V(x) — V(xz —4), ou
De là on peut tirer tme valeur de wV qui sera de lé forme oV = fFaz +106 + AT + Ba + C'œt LE ete. ; ;
et comme cette équation est linéaire par rapport aux fonctions F et V ,.les coefficiens A', B', C', etc. seront les mêmes pour toute valeur de V. Soit donc V ou V(x)= €, on aura.
Fme—emme(io), fEdr=r, Tr, Fete.
? dat Donc oies) (1 + Le + Act + B'es 4e C'ot fe etc.), ou 30, ES = 1 + A'ot + B'os + C'at + D'e5 + etc.
Le premier membre est une fonction paire de w, le second membre ne doit donc contenir non plus que des puissances paires de w. Pour avoir égard à cette propriété, nous prendrons de nouveaux coefficiens À,, À,, As, etc., tels qu’on ait
: dF dF PE œV = fFdx + L0F + À ,4 Æ— À,ut pe + A0 F = um etc., et ces coefliciens seront déterminés par l’équation : es He” s#
= = 4 À ,0" — À ct + An — etc...
—e ou, en mettant 3ÿ/—"1 à la place de :w, 1—2cotz= 2*A, 2° 24A, 24-45 a6A, 25 Lelc.
Or, on sait qu’en faisant H,, — es. Sms Sam étant la somme de la suite 1+ = + ze + ps+ete., on a la formule 1—3cots= 2H, 2° + 0H, 26 + 2H,26 etc.
Ainsi les valeurs de A,, A., As, etc., se déduisent très simplement de celles des coefficiens H,, H,, H,, etc., et il en résulte la formule générale
EE
SECTION II. N 575 (1) aV = [Fdx io TH, — ES H, 5 — etc.
Cette formule coïncide avec celle qu'a donnée Eulér pour le cas dew=1, dans
son Cale. LÉ art. 115; mais la-forme précédente paraît préférable en ce que les coefficiens — CH, 5 H,, 363, etc., offrent une suite très convergente,
dans laquelle le re de chaque terme au précédent tend de plus en plus
vers la limite gr ou = à peu près.
57. Si on suppose maintenant comme ci-dessus, que l'intégrale z= /Fdx est prise à compter de æ=—0, on aura en même temps la Girnue aV = 0;
dFo dF et si on désigne par Fo, — a etc., les valeurs de . LA etc. ,
lursque æ = 0, il faudra ajouter à l'équation (1) une constante qui réduise les deux membres -à-zéro lorsque x = 0. On aura de cette manière la formule
oV = fFdx +4 ns 24, (ST
— 58 Co D)
+- AA CE FN Or la suite désignée par &V est telle qu’énduisjoutant le terme w(£Fo——:Fx), la somme est la valeur de 4M; on aura donc : :
"y dt aM = fFdx + EH (TS —T
‘at dE d'F (4) : — 2 H, ) | 5 on dE ŒFo\ + a H, HS — Ts )— ete.
Pour avoir semblablement la valeur de aN, il faut d’äberd mettre + © au eu de & dans la valeur de «V, ce qui donnera l’équation
10[FE1&0+Fo+Tie... PRG ReRE el
= fFdr++o(Fx—Fo) + SH Œ: 7 dF Ps ——— 57 d" dÿ)
