É 8 AE

Le premier membre = : V ++ aN, ainsi en multipliant les deux membres

par 2 et retranchant de part et d’autre la valeur de & V, on aura

a = prie £ 1 (1 — 2) (E #6

(5) 2 H, (: — DC =) | — 2 H, (: = DIE: — T)+etc.

58. 11 ne reste plus qu’à substituer les valeurs numériques des coefficiens H,, H,, H;, etc., lesquelles sont

1 1 H,=3, H, = =) H=%; =» H; 93888 » °LC+ et on aura ponr l'intégrale cherchée / Fdx, ces deux expressions | dF dFo dF ni J'Ede = 0M — (EE — D) + (a EF dFo (4) 7 3o24o \drs de “etc., a qui Ad d’Fo fFaz = “+ — 7 5960 \di de

31 «° 5 Fo 157680 DL) etc.

On voit par ces formules quels sont les termes qu'il faut ajouter aux quantités aM et aN pour avoir la vraie valeur de l'intégrale fFdx. Ces termes forment en général une suite infinie qui ne peut se terminer d’elle-même que dans quelques cas particuliers, par exemple, lorsque F sera une fonction entière de x. Maïs dans tous les cas on obtiendra tel degré d’approximation qu’on voudra, en prenant « suflisamment petit, ce qui permeltra de réduire à un ou deux termes au plus, la correction qui doit être ajoutée à la valeur calculée de 4M ou de aN. Au reste, pour diriger convenablement le calcul, il y a différens cas à examiner.

59. 1°. Si la quantité L se T qui dépend des deux limites de linté-

grale, n’est pas nulle, ce qui est le cas le moins favorable, on pourra,

d’après la valeur dd + déterminée daws ces mêmes limites,

voir quelle doit être à peu près la valeur de « pour que le terme

(D is — 7) appartienne à l’ordre de décimales qu’on veut négliger.

Cette valeur de w fera connaître celle du nombre entier n=< qui règle le

nombre des termes à calculer des suites représentées par 4M ou par aN. Ensuite on aura avec le nombre de décimales désiré la valeur de fFdx, soit

par l'expression J Fdx = aM — = Œ —7), soit par l'expression... dFo JFdx = N + © (A — De)

2° Si dans Phypothèse du cas précédent, on veut admettre les deux pe termes de la correction, il faudra prendre © et par suite l’en-

. EF Fo ter n — -, de telle sorte que le troisième terme jets s — 5 ) appar-

üenne à l'ordre de décimales qu’on veut négliger. Alors on déterminera /Fdx avec ce degré d’approximation par l’une ou l’autre des formules

dF dFo ut [dF dFo frde = M — (TT) + (ar — Ge) (5)

dF dFo 7 /d'F d'Fo Sd = aN + LT — 0) — de(s — 2)

On peut aussi de ces deux formules en déduire une troisième, savoir :

a æt dE d'Fo .

frde= 3 (NM) — ns (75 — Gr) (6)

dans laquelle la correction n’est que d’un seul terme; cette formule s’ob-

tiendrait directement en considérant les x trapèzes dont l'aire / Fdx est

composée, comme étant terminés chacun par un arc de parabole; mais le

calcul de cette formule serait plus long que celui de l’une des formules (5). 7 à ox : .. dF dFo

3°, Si les deux limites de l'intégrale sont telles qu’on ait BK =

alors les formules se simplifient, puisque la partie principale de la correc-

tion disparaît, et il devient d’autant plus facile de calculer avec un degré

d’approximation déterminé l'intégrale / Fdx, au moyen de l’une ou Pautre

des formules

st dF d'Fo + JFdx = aM+ 7 de de — (Ga — ah dE Fo 310$ SE LS 2 féde = aN — je dt dx 157680 7 ds"

4°. 11 y a enfin un cas qui est susceptible de la ne la plus simple et la plus exacte, mais qui offre une sorte de paradoxe analytique assez difficile à expliquer : nous allons l’examiner avec tout le soin qu'il mérite dans le paragraphe suivant,

578 APPENDICE, $ IL Examen d’un cas particulier fort remarquable.

60. Ce cas est celui où les coefliciens différentiels de degré impair dE dF &F dx? dp? dé?

Par exemple, si on avait F(x)—={(1—c* sin* x)", À étant un exposant quelconque entier ou fractionnaire, positif ou négatif, et © étant < 1, il est visible que les coefliciens dont il s’agit seraient tous nuls pour les limites

=0, x= w; parce qu'ils sont tons affectés du facteur sin æ cos x et. qu'aucun d’eux ne peut devenir infini. Dans ce cas particulier les formules (4) donnent fFdx = aM et fFdx =aN, d’où l’on devrait conclure que non-seulement les quantités aM et aN sont égales entre elles, mais qu’elles sont l'une et l'autre indépendantes du nombre entier n qui désigne le nombre de termes des séries dont aM et aN représentent les sommes.

Cette conclusion est tout-à-fait inadmissible; car indépendamment des considérations générales qui doivent la faire rejeter, LS Re de l'exemple précédent aux deux valeurs particulières k=+, k#==— }, donnerait pour les fonctions complètes E'c, F'c, des cs de la forme

etc., s’anéantiraient tous dans les deux limites x2=0,x:=a.

“A, =B, où A et B seraient déterminables algébriquement ; résultat entie-

rement contraire à la nature connue de ces transcendantes.

Il faut donc avouer que le calcul nous induit ici en erreur, et qu'on ne voit guêre par quels moyens il pourrait être redressé. Voici ane une manière d’expliquer cette espèce de paradoxe.

Gr. Supposons qu’au lieu de chercher l'intégrale fFdx depuis x=0 jusqu’à x = 4, on veuille seulement la déterminer depuis x = 0 jusqu'a T—=a—a, « étant une quantité asez petile pour que æFa puisse être négligé par rapport à l'intégrale / Fdx. Alors on pourra regarder l'intégrale dont la limite est æ = a — à& , comme sensiblement égale à l'intégrale dont la limite est x = a.

Mais, lorsque la limite est à — & au lieu de a, les coefficiens différentiels

S PE ÆÆF » T° gr (C., ne s’anéantissent plus pour cette limite; ils sont

; abord très petits et presque nuls, lorsque la différence est d’un degré peu élevé ; ils augmentent ensuite très rapidement selon la nature de la fonction F; car, par exemple, si on excepte le seul cas où l’exposant 77 est un entier positif, les coefliciens différentiels de la simple puissance x" forment

SECTION Hi. 57) la suite , ma", m(m—i)a"—"t, m(m—31)(m—2) x"S$, etc.,

où l’on voit qu’à compter du terme où l’exposant de x devient négatif, les - coefficiens suivans augmentent dans un rapport qui surpasse bientôt tont nombre donné.

Cela posé, la valeur de / Fdx étant A ES ge la formule

[Fdx = (a —a)M— — — . H, D +: . H, D — etc,

on voit que la série qui sert de correction à la première valeur (a—«)M, sera convergente dans ses premiers termes qui seront d’abord très petits, mais qu’ensuite l’augmentation progressive des coefliciens différentiels agira en sens contraire de la diminution opérée par les facteurs décroissans

«* œt “ “ % Fr . a - H,, 3H, etc., et qu’enfn il y aura un terme où la série deviendrait

divergente.

Avant d'atteindre ce terme, la partie de la série

$ dF —HÉ+SHS— SH + ete,

qui est convergente, servira à corriger la quantité (a — æ)M, et la correction sera de plus en plus petite, à mesure que « sera plus petit ou # plus grand. On rentre ainsi dans l’effet ordinaire de la formule générale d'approximation, qui est de donner un résultat d’autant plus exact qu’on aura divisé la base a en un plus grand nombre de parties.

62. Le calcul que nous venons d'indiquer dans l'hypothèse que l’on prenne a—a à la place de a, n’est utile que pour Pexplication que nous voulions en tirer, et il n’y aura jamais lien à l'exécuter. Nous en conclurons seulement qu'ayant choisi une valeur de » à volonté, d’après laquelle on calculera les quantités «M et aN, intégrale f Fdx prise entre les limites x=0,x=—=4, sera donnée avec à peu près le même degré d’approximation par l’une ou par l’autre de ces deux quantités, On ne peut fixer a priori ce degré d’approximation, mais on peut assurer qu’il augmentera de plus en plus, à mesure que 7 sera plus grand. Nous donnerons bientôt un exemple dans lequel on verra qu’en doublant la valeur de x, on double le nombre des décimales ou plutôt le nombre des chiffres significatifs exacts du résultat. C’est ce qu'on peut démontrer en général pour Fintégrale Jdx(i — ct sin° x}, prise depuis x=0 jusqu'àx = 7, dans la supposition que € est 1.

63. En effet, on peut supposer (1— 0" sin x} = A, + 2 À, cos 2x + 2 À, cos 4x + 2 À, cos 6 x +-etc., les coefficiens A,, A,, A,, etc. étant des fonctions de c et de Æ qu'il est facile d'exprimer en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de c*. D’après ce développement, l'intégrale fdx (1 —c* sin° x), prise depuis x = 0 jusqu'à *—= +7, a pour valeur exacte À,.+7. Voyons jusqu’à quel point”on approche de celte valeur par la formule suivante où l’on doit

faire © = = et F(x)=(1 — e* sin* x};

TN=o[Fio + Fio+F£e..+F w].

D'après la formule précédente, on a

Fio=A,—+2A,cos & + 2Â,cos 24 + 2ÂÀ,cos 3w<+etc., Fiw= A, 2A, cos 3 + 2A, cos Go + 2A,cos gw<etc., F$£œ=— A,+ 2A, cos 5w + 2A, cos 104 —< 2A, cos 15æ < elc., etc.

. » . ” ième : * 2n — 1 .

Continuant ces séries jusqu’à la »°**° qui représente F(— œ), et faisant

la somme de toutes, on aura

TN = 0 [ Aon + aA, [cos w + 2 A, fvos 20 +- 2A, [cos 30-etc.],

expression dans laquelle cos w représente la somme cos & “+ cos 3æ + cos 5 jusqu’au 7°" terme inclusivement + cos (2n— 1); de même cos 2& représente une somme semblable dans laquelle on met 2& à la place de «, et ‘ainsi à l'infini. Maintenant il résulte des formules connues pour la somme des cosinus d’arcs en progression arithmétique (Zntrod. in Anal., sin (2 nma) 2si0 (me) * n’est pas égal à 27 ou à un multiple de 27, on a /cos mœ = 0; mais si sin (2nms)

a sin (me ) ?

teur et le dénominateur s'évanouissent dans ce cas, aura pour valeur

Aanm cos (arm) DORE den Do oi 2m cos (me) ne 08 . nc, on aura en geénera

art. 260), qu’on a en général /'cos mw —

Donc tant que m

on a m= ain, i étant un entier, la fraction

dont le numéra-

(8) = N= TZ [Ao— 24 + 2À yn — 2Âç + etc.],

SECTION 11. | 58r

on trouverait, par la même méthode, Ma [A + au + 24e 2 Aus “+ etc.]. (0)

64. Ces formules font voir que la correction qu’il faut ajouter à l’intégrale

approchée = M pour avoir l'intégrale exacte = A,, est — T(Asn ss A ya + Aa + etc.) ;

et parce que le coeflicient A, comparé aux puissances décroissantes c*, cf, c‘, etc., est en général de l'ordre c*, la correction précédente sera censée de l’ordre ce,

De même la correction qu'il faut ue à l’intégrale approchée = = N

+ TA — À yn + As —etc.); elle est donc aussi de l’ordre c#" ; et on peut considérer ces deux corrections comme sensiblement égales et de signes contraires.

65. Lorsqu’après avoir calculé les quantités M et N pour un nombre de termes x, on les calcule de nouveau pour un nombre de termes 27, si on désigne ces dernières valeurs par M' et N', il est aisé de voir qu’on aura

= MN). D'ailleurs il suflit de mettre 22 à la place de 7, dans l’expression des corrections précédentes pour avoir celles qui doivent être appli-

quées aux intégrales approchées ZM : = N. Ainsi la correction qui'est de l’ordre cf” pour les résultats 2 M,= N, sera de l’ordre c* pour les résultats =M', TN; c'est-à-dire que le nombre de chiffres significatifs que les valeurs approchées ont de communs avec la valeur exacte = 5 À. devient à peu près

double, quand on double le nombre in Fes compris dans les séries

MetN.

66: Pour donner un exemple de ces formules, nous les appliquerons au calcul des fonctions complètes E'c, F'c, en supposant le module c—0, 6, ce qui donne b = 0.8.

Il faudra d’abord chercher par les méthodes propres aux fonctions ellipti= ques, les valeurs de ces fonctions, afin de les comparer à celles que donnera le calcul des quantités M et N pour diverses valeurs du nombre des termes