CHAPITRE

La série des æmodales €, c°, c°°, ete. comprend toujours un terme de plus; ele devra par conséquent être terninée an module c#. La raison en est

qu'on a alors = (+ Pa et qu'ainsi le logaxithme de 8“? est nécessaire pour composer la valeur de log #.

Passé le terme c*, il n’y a pas lieu de considérer le suivant +1, parce qu'on aura sans erreur sensible #1 = (10), et qu'ainsi la quantité

. log & ne change pas en mettaut w + 1 à la place de pe.

Cela posé, il est facile de voir qu’on connaîtra les limites des différens cas, en commençant par déterminer la valeur du module c qui donne pour son complément log b= — 1(10)"4

Le module supposé € étant extrêmement petit, on a d’uve mauière suffisamment exacte b=1—;c et log b=—%me"(*); donc «= M (10) "4 ete=(10) 7 W/M, ou log c= 3.1811078.

Si on assimile c au smus d’un arc, on trouvera que cet arc n’est qu’une fraction de seconde et qu'on a c = sin 0"0313.

I] faut maintenant partir de ce module très petit pour former la suite des modules croissans €, c', c”, c”, etc.; c’est un calcul qu’on pourra faire

d’ane manière suflisamment exacte pour notre objet, par une table à sept décimales seulement.

On aura d’abord c’ =. ou simplement ‘ =2y/e, ce qui donne

log c=6.8915839 et €’ — sin 0°2/40"70.

Pouravoir c'jefaisc'=tang":8, j'ai ltang10=8.4457019,20=1°35"55"98, 8= 3° 11/5156; donc «= sin 3°11/51"56 et log c"—8.7464836.

Si on fait de nouveau c"=tang* 18’, on aura Ztang +4 =9.3732418, 18 = 1317/18/84, # — 26°3437"68 ; donc c” = sin 26°3435"68 et log «= 9.650698.

Soit enfin c"=tang" +8", on aura ltang 18"—9.8253490, :6"=—33°46"40"15, 8"=67"33 20! 30 ; donc c'*=—sin67° 33/20/30 et dag "9.965808.

(*) Dans tous les calculs logarithmiques qui suivent, nous désignerons constamment par la lettre», le nombre connu 0.43429, etc. dont le logarithme est 9.63758 4311300537 et par la lettre M son inverse 2.30258, etc., dont le logarithme est o.3622 1 56886 99463.

645. 1] résulte des calculs précédeus, 1°. que depuis c= sin 67°33" jusqu'à e = sin 26°34 on devra se borner à calculer les quatre termes b, 6°, De, bre, et les cinq c,c", 0, a.

2°. Que depuis ce = sin 2634; jusqu’à e = sin 3°11", on n’aura à calculer que les trois termes à, b°, b®, et les quatre c, e*, c°°, c°®;

3°. Que depuis ce un ET 1' jusqu'à e = ss 0°2"40", il suflira de calculer les deux termes b, b°, et les trois c, €”, c°”;

4°. Que depuis c = sin 0°2'40" jusqu'a ce = sin 0"0313, il suffira de calculer le terme b, et les deux €, c°;

5°. Enfin qu’au - dessous de = sin 0"0313, on n’a besoin que du seul terme €

Tel est le nombre des termes de la série des modules et de celle de leurs complémens, qu’il sera nécessaire de calculer dans les différens cas, pour obtenir 14 décimales exactes dans les logarithmes des fonctions F'e E'c, F'b, E'6. Nous allous faire voir maintenant comment les calculs de ces modules peuvent être effectués de la manière la plus facile.

Formation de l'échelle des modules.

646. Connaissant les logarithmes de c et b, il s’agit de trouver ceux des termes suivans c° et b°. Pour cela, soit = x, l'équation b'c—=2y/ (bc)

donnera x = (er (1— x"), et en faisant p 2, la valeur de x dé-

veloppée en série régulière sera

LEP. 4p° +7 16p° HS Gp 4 + etc.

Mais il importe de calculer directement log x ; or la valeur x= LE" donne "dx ____ dp — dp Û 1.3 1.3 5

= TUE D les 2 — mr 4 +: 16p+ — à 76 * C4P° +ete.),

d’où l’on tire en intégrant, 3, 5 &p° , 3.5.7 8pt log x = log p — PP + pt me Cr Miroirs — etc.

Ces logarithmes sont hyperboliques; pour les changer en logarithmes vulgares, 1] faut multiplier les parties algébriques par #2; c’est pourquoi faisant

P= mp" — 2} mpt + mpf — etc.,