CHAPITRE VIL
Formules pour trouver les valeurs très approchées des Fonctions Ey, Fe, lorsque l'amplitude @ n'excéde pas une certaine limite.
742. L onsque l'angle @ est peu considérable, on a à très peu près vi — c'sin"®)= cos cp; —. donc A=cosc®, on aura Ep =...
ap cos cp =; sin c@, et Fo= ee = 2 Log ER og tang(:#+! ce).
Ces valeurs sont exactes dans les cas extrêmes, lorsque c=—0 et c= 1 ; elles
seront d’autant plus approchées dans les autres cas, que l'angle ® sera plus petit.
CHAPITRE VII. 89 Pour savoir quel est le degré d’approximation de ces valeurs, on développera en série la quantité A, ce qui donne Az: —: c* sin*® — > 7 chsinég — ETS c' sin @—etc., eten y substituant la valeur
3 É 7 sing=p— + TS —TÈTE x and, on aura l'expression suivante, exacte aux quantités près de l’ordre c*@", don ben LA ue 2 dde nf : À 4 lent 66 (ten À #7 las: LE de là résulte /Ad?, ou
Désignons cette valeur par E= - = sin + Q, nous aurons par le di. pement du premier terme,
__ EmQ+e—gop ip ep, et par conséquent, Q= 2e 0 — DEP (4— ic"); on a Conc la valeur très approchée, (a) Ep = ! sin eg + @5— PT @7 (4—r 10").
On trouverait par un calcul semblable,
(8) F@ == log tang (27 +? cp) Fe UE p'(4—41ct).
Ajoutant ces deux formules, on en tire une troisième non moins remarquable, savoir,
Ep + Fp= À sin ep + log tang (37 + + 09) — 75 9" 743. La formule (a), réduite à son premier terme = sin c® , donnera sept
décimales exactes si l’on a @ << 6°; elle en donnerait dix ou plus si on avait P<i°3. :
En prenant les deux premiers termes, la formule Ep= : sin c® +- = g" donnera sept décimales exactes, si on a ® < 16°4, et dix décimales ou plus, si lon a p<<6° 12.
L’approximation sera à peu près semblable sur la valeur de F@, selon qu’on la borne au premier ou aux deux premiers termes.
Si on tient compte de. tous les termes de la formule (a), il n’y aura de négligée dans la valeur de E@, qu’une partie dont le terme le plus grand est de l’ordre La g°, et ne pourra jamais excéder == g*. L'erreur due à ce terme ne sera pas d’une unité décimale du dixième ordre, si on a ® < 15°, et elle ne sera pas d’une unité décimale du septième ordre, si on a ® << 32°45. Le même degré d’exactitude n'aura pas lieu dans la formule (6) ; et pour avoir sept décimales exactes, il ne faudra guère passer Ja limite 6= 20°.
744. Exemple I. Soit c=sin 45° et ® = 10°, la Table II donne les valeurs suivantes :
Eg = 0.179409 15655,
F9 = 0.17497 63019; RS il faut les comparer à celles que donnent nos formules; et d’abord pour avoir la valeur de E, on calculer les deux premiers termes de la formule (a) comine il suit : |
cp = 7° 415" 84412 ® nr LES 9-24187 73 6
sincp..... 9.09025 93615 D'isiauss 6.20938 68 ossoonse 0.135051 49978 re — 2.07918 12 : sin cg... 9-24077 43593 (1)......, 413020 56
= sin c = 0.17409 a2r4o
On voit que les deux premiers termes donnent la Yaleur de Eg avec huit décimales exactes, l'erreur n’élant que de dix-neuf unités décimales du dixième ordre. Ïl en sera de même pour la valeur de F@ dont voici le calcul :
45°+icp —= 48°32"7" 92206,
Ltang (45° + 4 cp) = 0.05373 43422.
Ce log-tang. étant un logarithme vulgaire, il faudra le multiplier par M pour le changer en logarithme hyperbolique , comme la formule le suppose. Aiusi en appelant À le nombre précédent, on aura les logarithines suivans,
CHAPITRE VIL 91 pour déterminer le premier terme B de la formule (6), h.... 8.73025 19367
M... 0.362121 56887 B = 0,17497 76676 Sesss 0.15051 40978 ge Drorgs. 13496 B.... 9.242098 26232 F® = 0.175497 63180.
On voit que les sept premières décimales de la valeur de F@ sont exactes, et que l'erreur ne commence qu’à la huitième, où elle n’est pas de deux unités. |
745. Pour obtenir une plus grande approximation, il faut tenir compte du troisième terme contenant @’. Or, puisqu'on a c* = }, la correction qu'il faut appliquer à E, est égale à la correction précédente (1) multiphiée par £, de sorte qu’en appelant (2) celle seconde correction qui est addi-
tive, on aura G)=().S: de même la seconde correction de F@ sera
— (1). 2€ (r).... 4.130210 56 0.17497 63180 Le. .. 8.07798 94 (2)... — 161 5 ee pe tre
La correction (2) pour E® sera onze fois moindre que celle de F@; elle est donc de quinze unités décimales du dixième ordre, ce qui donne la valeur currigée de E®, comme il suit :
