CHAPITRE X

Modification de la méthode trigonométrique du Chapitre VI.

769. Lx méthode que nous allons exposer n’est autre chose que celle du Chapitre VI, modifiée de manière qu’elle n’exige pas un travail préliminaire trop considérable , au moins lorsqu’on ne veut pas pousser lapproximation au delà d’un certain degré.

Supposons d’abord que l’on calcule par la méthode générale amplitude æ ou &, , qui satisfait à l'équation Fe= :; F'e (nous prenons pour exemple la fraction -=, mais une autre fraction telle que + ou +, pourrait être plus convenable dans certains cas, comme nous le verrons ci-après); au moyen de cette amplitude on déterminera successivement celles qui satisfont aux fonctions multiples Fa,=— 2Fa, Fas= 5Fa, etc. On calculera en même temps les valeurs correspondantes de E, et du tout on formera un pelit tableau de dix lignes seulement, contenant les valeurs de @ et de E@, auquel on pourra joindre, pour la facilité des applicat:ons, les valeurs logarithmiques correspondantes de sin @, tang @, A9. Voyez un tableau de cette sorte; art. 773.

Cela posé, @ ayant une valeur donnée quelconque, il s’agira de trouver, par le moyen de celte table, les valeurs des fonctions F@, Ep.

770. Supposons que la valeur de ® soit plus grande que æ1 , elle sera comprise entre deux termes consécutifs de la première colonne ; soit a le terme le plus proche ou au moins celui pour lequel la différence Fg— Fa, positive ou négative, est la plus petite, et soit ® =a+x, x ayant le même signe que Fp—Fa; si l’on fait en même temps F (a+ x)=Fa+F'y, l'amplitude y se déterminera trigonométriquement par les équations suivantes:

c sin e=sin 6, tang "= cos 6 tang(a+ x),7= 44. csin(æ+x)=sin 6", tang L = cos 6’ taug a.

On voit qu'il faudra d’abord calculer les angles auxiliaires 6, 6’, ensuite les angles 4’ et 4, dont la différence est l’angle cherché y.

Connaissant y qui sera en général du même ordre que x, et peu supérieur à x (excepté dans le seul cas où c et sin @ seront tous les deux peu différens de l'unité); on pourra déterminer Fy et Ey par les formules qui conviennent aux petites amplitudes, et on en déduira les fonctions cherchées

F® = Fa + Fr, Ep = Ea + Ey — c* sin a sin @ sin y.

Cette sorte d’interpolation n’exigera en général qu’un calcul assez facile et fondé, comme on voit, sur des formules trigonométriques très simples.

Si x est négatif, y le sera aussi; mais d’ailleurs le calcul sera toujours le mème. Au reste la faculté qu’on a, suivant les différens cas, de prendre x positif ou négatif, permettra toujours de supposer Fy << 21F«; c'est ce qui . aura lieu encore, lorsque ® sera moindre que æ, mais tel cependant qu'on ait Fp > 5 Fa. |

Nous remarquerous que si l’on fait sin w = PART M on aura exaC-

tement sin ÿ = He Par les auxiliaires 6 et 6’, on a Aa=cos6,

A(a-+zx)=0cos6", ainsi l’angle w , troisième auxiliaire, se trouverait par l’ésin x

cos (36 +36) . cos (39 —3

simple de se servir des formules précédentes, quoiqu’elles déterminent l’angle y par la différence de deux angles beaucoup plus grands 4” et +].

771. Nous avons donné dans le Chapitre VII des formules pour calculer les

fonctions F@, E, lorsque l'amplitude @ ne passe pas une certaine limite;

quation sin w = 2; mais il sera presque Loujours plus