CHAPITRE X. 125 — 1 y Ed 27 ’ # 27 : Lai Eye (+) (20) ete

s s 7 a | ST EE Cet 0 EE Cm PE LEE

Si l'on y substitue la valeur de c* dans notre exemple, savoir « = +, elles deviennent

7 Vesta tan

Emmy + Hs"

faisant donc y — 4°6' 57", 30188 32, ce qui donne, après avoir réduit cet arc en parties du rayon

log y = 8,85634 39959 78, y = 0,07183 63067 020,

on trouvera Er = 0,07180 54342 97, Fy = 0,07186 72030 06.

Maintenant les valeurs cherchées de F@ et E@ se tireront des équations Fe = Fa + Ey, Eg = Ea + Ey — c* sin a sin @ siny, comme il suit :.

CsinP.csosouee 967195 58207 79 Fa = 1,05822 15372 45 SIN Geroor.see ++ 0:96369 70659 98 Er = 0,07180 54342 97 BDT.csovoroue 8,85597 04055 19 1,13002 69715 4a

Bososuses sv... 8,9162 52922 96 Z — 0,03101 86785 59 Eg = 1,09900 82929 83.

Fe = 7 F'e = 1,29785 22741 11

Fy..ose +... = 0,07186 72030 06 Fins .. = 1,36971 94771 17

Par la Table II, on a F@ = 1,36971 94771 22, et Ep — 1,09900 82929 85, ainsi l’accord est parfait sur la valeur de E, et il n’y a de différence sur celle de F que cinq unités décimales du douzième ordre; erreur facile à expliquer tant par la longueur ct la multiplicité des calculs de la dernière inéthode, que par l’inexactitude qui peut rester dans le dernier chiffre des nombres de la Table 11, malgré lout le soin qu’on a pu mettre à la construction de cette Table.

779. Dans le calcul du tableau de l’art. 777 , nous avons poussé le nombre des décimales jusqu’à douze, afin de mieux établir la comparaison des

résultats avec ceux de la Table IL qui comprend un pareil nombre de décimales : mais le calcul s’abrégerait beaucoup, si l’on voulait se borner à dix ou à un moindre nombre de décimales.

En général, quel que soit le degré d’exactitude qu’on veut obtenir, il faut mettre un soin particulier à l’exacte détermination de l’amplitude æ d’après laquelle la Table est formée. En supposant, comme nous l'avons fait, Fe = + Fo, il est nécessaire, pour connaître «, d’avoir, l'échelle des modules qui fülle du module donné ce, La Table VI ci-après donne cette échelle pour tous les angles dif module, de dixième en dixième de degré, depuis o° jusqu’à 15°, et ensuite de demi-degré en demi-degré, depuis 15° jusqu'a 45°. Mais cette Table n’est pas de nature à être interpolée, et ne serait d’aucun usage pour les angles du module qui n’y sont pas expressément contenus.

780. Pour obvier à cet inconvénient, nous avons pensé qu’il serait utile de construire une Table où lon trouverait, pour tout angle donné du module, au moins de 0° à 45°, la valeur de « qui donne Fe = ; F'c. Dans cette vue, nous avons calculé directement la valeur de & pour tout angle du module de demi-degré en demi-deyré, depuis o° jusqu’à 45° ; nous avons ensuite interpolé les résultats en insérant quatre moyens entre deux termes consécutifs. C’est ainsi qu'a été formée la Table VII où lon trouve la valeur de æ pour tout angle du module de dixième en dixième de degré, depuis 0° jusqu’à 45°. Cette Table, dans laquelle les quantités & sont accompagnées de trois ordres de différences , le quatrième étant omis comme inutile ou pouvant être pris à vue, servira à déterminer par interpolation la valeur de æ qui satisfait à l'équation Fe = -: F'c, pour tout angle donné du module de 0° à 45°, sans qu'il soit besoin de connaître échelle des modules correspondante.

Ou n’a pas prolongé la Table VII au-delà de 45°, parce que l’interpolation deviendrait de plus en plus pénible, à mesure que langle du module s’éluignerait de ce ne et aussi parce que passé 45°, il convient de prendre Fa plus petit que -& F'e, et de plus en plus peüt, à mesure que l’angle du module devient plus grand. En effet, pour que, suivant l'esprit de la méthode, le calcul des fonctions E®, F@, soit ramené à celui de fre autres fonctions Ey, Fy, dans lesquelles Pamplitude y n’excède pas 5 à 6 degrés , il faut que æ n'excède pas. 12°, D’après cette base, on peut faire Fa == 2 F'o, depuis O0 == 45°, Jusqu'à = 50°, et Fe — 3 F'e, depuis 8 = 70°, jusqu’à 8 = 82°. C'est ce qu’on one aisément par l'équation

CHAPITRE X. 127 approchée 2 taug (45° + + ce) = nF'o, dans laquelle substituant les va-

leurs r—-2, c — sin 70°, on trouve æ= 11° 53/, de même qu’en faisant n=-+, c=—= sin 82°, on trouve a= 11° 58/.

781. Nous remarqnerons que lorsqu'il y aura lieu de supposer ....... Fa = - F'e, cette équation peut être résolue par de simples opérations trigonométriques, sans être obligé de former l'échelle des modules, En effet, l'angle &, qui satisfait à l'équation Fa, = 3 Fc, pourra se déterminer par la formule du n°. 24; connaissant &,, il faudra employer les formules de la bissection , pour trouver successivement &, et &, ou æ&. Ensuite on trouvera les autres termes par les formules de la multiplication qui ne supposent pas connue l’échelle des modules. On pourrait même déterminer ces termes par la simple bissection , savoir : &; par la formule ordinaire, . .

tang a = 72 et æ, par la bissection de Fay, Il resterait à trouver par ces

méumnes formules Ja valeur de æ,, ce qui peut se faire au moyen de léquation des complémens qui donne d’abord cot &,, = 6 tang z,, et ensuite as par la bissection de Fa...

11 sera encore plus facile de résoudre l'équation Fz=-% F'e, puisqu'elle n’exigera que les formules ordinaires de la bissection. Nous en donnerons bientôt un exemple pour le module sin 81°.

782. Pour montrer l’usage de la Table VIT, supposons qu’on demande la valeur de pour le module sin 82. De cette valeur du sinus on déduira d’abord l’angle correspondant

8 — 19°,47122 06344 868; on voit ensuite par la Table, qu’à l'angle du module 19°,4 répond la valeur g=09"15"37",83660 10, et les différences toutes positives d'=9,95614 40, d'p=5677 85, d'e—914, dp=8; faisant donc x=0,;1220 6345, et appliquant la formule ordinaire des interpolations, savoir:

2e (GIE (re AE (07

on aura

= dy,

783. Non-seulement la Table VIL fait connaître pour chaque module

moindre que sin 45°, l’angleæ qui donne Fa= : F'e; maison peut facilement

tirer de cette mème Table, la valeur correspondante de la fonction Eæ. Voici comment on parvient à la formule nécessaire pour cette détermination.

Si on suppose que pour l'angle 8 du module, l'amplitude @ satisfait à l’equation Fp=nF'ce, n étant un nombre fractionnaire constant, @ sera en général une fonction de 8; et comme F@ ou F est fonction de 8 et ®, on devra

: dF faire dE (+ « æ) d= (+: : æ) d} , ce qui donnera l'équation dE , 1 dd? dF' Ou mr É mais en faisant c—sin 8, les formules de l’art. 45 donnent

dE __E—Foosô sind singcosg dF' E'—F'cos'ô

—— — —— té jt, re à

donc on a sin ? cos sinBcosÿ dy?

E—F cos 0—n(E! —F' cos 8) = sin. en Tr

ou simplement ri : sn Sincos® sinf cos de EznE sin 8. ia ESS ÉENTT PES D Le Or, pour chaque valeur de 4 comprise dans la Table VIF, on trouvera immé-

diatement le coefficient différentiel 2 par la formule d 360 = de — 1d"p +10 — 194,

où 360 est mis pour la différence 0° ,1 des valeurs de 8, parce que les différences d'®, d'®, etc., sont exprimées en secondes; quant aux valeurs de 8 qui ne sont pas comprises dans la Table, on trouvera également par interpolation les valeurs correspondantes de d'@, d"?, etc.; donc dans tous les cas, on connaîtra la valeur de Ex qui répond à l'équation Fe= # F'e.

Dans l’exemple précédent, l'angle du module 45° est compris dans la Table; mais les différences qui répondent à 45°, dans le sens de l'accroissement de la variable 8, n’existant pas, faute de termes ultérieurs, on y suppléera par les différences dans l’ordre inverse, comme on l’expliquera ci-après

art. 797- On aura alors

d'p=29,80516 98, d'p=——11285 31, Mp=44 10, d'p=—30, ce qui donnera = 29748! > 0,08294 92892.

mule E=-4E'-+3. Free +, æe, on aura E=—0,18435 Goÿ77, te

qui s’accorde suflisamment avec la valeur de Eæ, dans le tableau de l’art 777.

ns. 2)