CHAPITRE XL

Au moyen de Tarigle approché az 50°37, .on trouvera ‘par les formules ordinaires À'2== 50°,37274 12266 4851 ; quant à l’angle pe”, comme il n’est que d’uu petit nombre de degrés, on pourra, en faisant tang w'= 1, calculer cet angle par la formule = #{1 — à re st rl + kæ), et on trouvera par les cinq premiers Lermes de la aie pi=2",5 1g31 21820 4336. De là résulte

Puisque @ satisfait à l'équation Fo = £F'e, la valeur de @ peut être vérifiée par la formule du n° 24, qui donne {sin ®=9,90173 08351 6245, et de là

?=52°,89205 34086 886; la différence n’est que de trois unités du quatorzième chiffre, et on ne peut guère décider de quel côté est lerreur.

Enfin la valeur de Eg se trouvera par le calcul suivant :

ce... 9,98923 98541 3016 EA... = 0,77397 70241 8163 sin À. 0,88700 45821 5413 Eu... = 0,06771 55646 5154 sin 1. 8,85069 31864 4o6: 0,84169 45888 3317 sin @. 9.090173 08551 6245 ,;.,, o,04061 33165 2661

+: 860866 81558 8753 Ep.. — 0,80108 12723 0656.

799- Pour donner une seconde application des mêmes Tables, cherchons les valeurs des fonctions :Æ et F qui répondent à l’amplitude = 75°.

La plus proche valeur de ®@ contenue dans la Table n° 1, est ÀA= 76*,25603 20752 60 ; elle répond à la fonction FA = 4 F'c; il faut donc déterminer l'amplitude m par l’équation SE id , où par les formules.

tang À'=tang A.AP, tang ®'—tang®.4aÀ, mA — 9". Connaissant x, il sera facile d’avoir, par l’interpolation de la Table n° 2, la valeur correspondante de x qui donnera celle de Fy et ensuite celle de Eu. Voici le détail de tous ces calculs.

On a, par la Table n° 1, les logarithmes de tang À et AA; on a immédiatement / tang @, ainsi il ne reste à trouver que /AY, ce-qui se fera par la formule À = cos py/(1+ A), dans laquelle A,# * tang*®, et d’où résulte la9 = 9,47668 59066 8751. D’après ces valeurs, on | formers celles de { tang À' et Z'tang 9’, savoir:

tang À.. 061091 04252 1560 tang®.. 0,57194 75475 5530 Poor. 9,47668 59066 8751 AA..... 0,45071 19110 1552

tang À'.. 0,08759 63319 0311 tang ®’.. 0,02265 94575 4882 d’où l’on déduit

= 50°73945 77571 6697 pi — 46,49403 54375 3376 | m' = 4,24540 23196 3321.

800. 11 faut maintenant ehercher dans la Table n° 2, la valeur de x ‘qui répond à cette valeur de @; on voit que cette valeur est comprise entre 8 eto, et qu’en faisant n—8+x, on aura à déterminer x par la seconde formule générale d’interpolation , savoir :

A'—p=(1—x) (d'A + e (d'A° + se (JA + = (J4A°%-+ete.,

dans laquelle les nombres donnés par la table sont :

A'— pu = 0,12191 44559 8505 d'A” = + 846 1094

d'A = 0,48448 75698 5390 d'A®%® — + 119 5287 d'A = — 27 13720 9596 d'A“ = — 6300 JA — — 3 37094 8348 d'A — — ‘923.

Après quelques essais dans lesquels on peut négliger les décimales qui passent le dixième rang, on trouve æ=—0,34830 556125. Pour plus d’exactitude, il conviendra de substituer cette valeur dans le second membre de l’équation à résoudre, afin d’avoir la différence entre le résultat de la substitution et la valeur donnée de A’ —.

Résultat de la substitution... o,12191 44559 7543

A'—p..... 0,12191 44559 8505 Différence... r — 162.

De là on voit que 1 —x doit être augmenté de = = 1988, ce qui don-

nera pour la vraie valeur de x x =0,74830 75612 3012.

Connaissant x, on aura Fu= ee F'e, et par conséquent......... Fo gg Fe = 29029 us : . F'c, ce qui donne le loga-

rithme de cette fonction :

F'e.... 0,51259 14107 1659 coeff... 0,77975 36954 8302

801. Pour calculer E, il faut d’abord chercher Ex par l’interpolation de la Table n° 2; en appelant de nouveau A le terme E qui répond à n = 8, la valeur cherchée sera donnée par la formule

Ep A'—( 1x) (SA € (ACHETE (JA + eu (AS ete.

où lon a

A! = 0,07615 20743 1122 d'A°9® = + 46 7701 d'A — 843 45096 5968 d'A = + 6 5789 d'A = — 94512 9760 d'A = — 463 AS = — 11696 8077 d'A = — Bt.

Substituant ces valeurs et celle de x, on trouvera Eu —0,07403 01260 4731, enfin on aura à calculer E@ par la form. E®+-Eu=ÆEA# c"sin @ sine sin À

c.... 9,98923 98541 3016 EA = 0,98484 13820 8090

sin ®.. 9,98494 37781 0267 Eu = 0,07403 01260 4731

sin À.. 9,98734 62777 4410 7" 0,9108r 12560 3359

sinus. 8,86939 87498 6310 3... 0,06775 30202 7583

3..... 8,83092 86598 4005 Ep = 0,97856 42763 0942. Cette valeur et celle de ZF@ s'accordent suflisamment avec celles qu’on a trouvées par la méthode directe, n° 764 et 565.

802. Nous avons cru devoir exposer avec beaucoup de détail tout ce qui concerne la construction et l'usage des Tables n° 1 et n° 2, relatives au module e=sin 81°; les calculs ont été faits avec une exactitude scrupuleuse, et soumis à un grand nombre de vérifications, de manière qu’on peut être assuré que les résultats consignés dans ces tables, sont exacts autant qu’ils peuvent Pêtre, d’après les Tables trigonométriqnes à quatorze décimales, dont nous avons fait usage, lesquelles sont quelquefois en erreur de une, deux et mème trois unités dans le dernier chiffre. On en voit un exemple dans le logarithme de 8 où cos 81°,qui, dans la Trigonom. Brit. , est 9,19433 24413 5701, et dont les derniers chiffres doivent être 5699. En suivant les mêmes procédés qui ont été indiqués dans la constraction de ces Tables, et

dans les deux applications que nous en avons données, on parviendra donc dans tous les cas à la détermination des fonctions E et F et à la solution des questions qui en dépendent, avec un degré de précision supérieur, non-seulement aux besoins de la pratique, mais à ceux des recherches théoriques les plus délicates.

Je ne dissimulerai pas combien est pénible le calcul d’une table telle que la Table n° 1 qui n’a que seize lignes, ou que la Table n° 2 qui n’en a que douze ; mais, si On aspire à un aussi grand degré d’exactitude, 1] semble qu’on n’y peut parvenir que par le secours de ces tables, ou par la méthode générale fondée sur la formation préliminaire de l’échelle des modules. C’est au calculateur à choisir entre ces deux méthodes, celle qui lui paraîtra la moins pénible.

Comme la formation de l'échelle des modules se réduit, d’après nos formules, à un travail assez court, il est vraisemblable qu’on jugera que la méthode générale mérite la préférence, si l’on n’a à calculer qu'un petit nombre de fonctions E et F; mais s’il y avait lieu de calculer un grand nombre de ces functions, l’autre procédé paraît être le plus avantageux.

Au reste, nous avons déja dit que si on se borne à dix décimales dans la formation de la Table auxiliaire n° 1, auquel cas on peut se passer de la Table n° 2, le calcul de cette table et son usage dans les cas particuliers, deviendront très faciles , et rentreront dans la classe des calculs trigonométriques ordinaires , surtout si le module est plus petit que sin 45°, ce qui permettra de prendre la valeur de æ dans la Table VI]; et puisqu’alors les résultats sont exacts jusqu’à la dixième décimale, ou au moins jusqu’à la neñvième, il ne paraît pas qu’on puisse proposer rien de plus simple pour le calcul des fonctions E et F, au moins taut qu’il n’existera pas des Tables suffisamment étendues, au moyen desquelles la détermination de ces fonctions serait réduite aux règles ordinaires de l’interpolation.

803. Remarquons en finissant que le Tableau n° 1 pourrait être réduit aux cinq termes &,, &,, &,, &,, &,6, et que dans cet état, il suflirait encore pour ramener les fonctions proposées E®, F?, au cas où l’amplitude est moindre que 6°. Pareille observation s'applique à plus forte raison aux Tables auxiliaires construites pour des modules moindres que sin 81°. :

En eflet, 1°. si l’amplitude donnée @ est comprise entre 4, et &,;, ou 90°, VPune des deux différences Fp—Fas, F'c—F@, sera moindre que ?F'c; ainsi, en faisant Ja plus petite des deux différences —F@', on aura g'<@,. 11 faudra donc d’abord déterminer æ, soit par l'équation algébrique qui cor-