CHAPITRE XI

respond à l’équation F@—Fa, = F?', soit par l'équation cot®"= 6 tang @, si l'on a F'e—Fp=F@".

Puisque @' ainsi déterminé est plus petit que &,, le cas le moins favorable pour la réduction est celui ou @’ sera compris entre #, et æ,: soit alors F@" égal à la plus petite des deux différences Fa,—F@, F@ —Fa,, la fonction F@" sera plus petite que :(Fa,—Fa,), et par conséquent <<+Fa, < Fa,. Si en même tems F@" est < 3 Fa,, g" sera plus petit que 5°,8188, et l’objet de la réduction sera rempli par deux transformations seulement, Si au contraire Fo" est > :Fa,, il faudra une troisième transformation pour réduire les fonctions E, F@, au cas où l'amplitude est moindre que 5°,8188.

2°. Si l’amplitude donnée @ est moindre que &,, le nombre des transformalions qui ne pouvait être plus grand que trois dans le premier cas, ne pourra surpasser deux dans celui-ci, et se réduira le plus souvent à un.

De-là on voit que la Table auxiliaire, réduite à cinq termes, conduira aux mêmes réductions que la ‘Table entière, calculée laborieusement avec onze termes de plus. Mais, tandis qu’une seule transformation, faile à l’aide du tableau entier, suffit pour réduire les fonctions F@ et E au cas où Pamplitude est moindre que 5°,8188, il faudra quelquefois deux et même trois transformations semblables pour parvenir à la même réduction par le tableau partiel. Ces transformatious, il est vrai, se font par de simples formules trigonométriques ; mais c’est au calculateur à balancer les avantages et les inconvéniens des deux procédés.

J'observerai au reste qu'il faudrait ajouter un sixième terme à la Table auxiliaire, si l'angle du module était plus grand que 81°; cette addition suflira jusqu’à 89°, et il est inutile d’aller plus loin. Alors le nombre des transformations pourrait aller jusqu’à cinq , pour obtenir la réduction cherchée.

160 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, AAA AAA AAA AAA AAA AAA AAA AAA AAA AAA A AAA AAA AAA AA AAA AAA AAA AAA A CHAPITRE XII.

Sur la construction des Tables VIII et IX.

804. LA méthode du chapitre VI présente beaucoup d'avantages par la simplicité et l'élégance des formules qui servent à construire chaque table particulière pour un module déterminé ; on a vu que les calculs s’exécutent dans toute étendue de la table, en n’empruntant de la théorie des fonctions elliptiques qu'un seul élément qui se multiplie ensuite par des formules purement trigonométriques et rigoureusement exactes ; cependant l’usage de ces tables serait peu commode dans linterpolation, lorsqu'il s'agirait de trouver les fonctions E et F qui répondent à des valeurs données de l’amplitude et du module.

Il paraît beaucoup plus convenable, pour cet objet , de construire des Tables dans lesquelles l’amplitnde et l’angle du module croissent par des intervalles égaux et suffisamment petits, de o° à 90°. C’est donc entre les deux méthodes proposées dans le chap. IT, qu’il faut choisir celle qu’on regardera comme la plus facile, pour parvenir à un degré d’exactitude déterminé. :

805. La seconde de ces deux méthodes fait trouver directement la différence seconde de la fonction E, ainsi que celle de la fonction F; et par ces différences , vérifiées à de certains intervalles, on parvient à former la série entière des valeurs de E et de F, comme nous l’avons fait voir avec beaucoup de détail, en calculant la Table 11 qui convient au inodule e = sin 45°.

L'avantage principal de celte seconde méthode consiste en ce que les auxiliaires qui servent à déterminer les différences secondes des fonctions, sont beaucoup plus petites que celles qui, dans la première méthode, seraient nécessaires pour donner immédiatement les différences premières de ces mêmes fonctions. Mais, d’un autre côté, les erreurs sur les différences secondes se multiplient suivant la progression des nombres triangulaires, dans la détermination des fonctions principales ; il devient donc nécessaire