CHAPITRE XIT

ét comme ® désigne la limite des quantités @, 2, %, etc., laquelle peut étre censée égale au cinquième terme, on aura | | Dim —3-+# 500% sin 25 (1 — à c°® cos 23 )]; ainsi z étant déjà connu, il suflira d'ajouter à # — z la petite correction 3 0% sin 22 (1— } c** cos 2z) et de diviser le tout par 4, pour avoir la valeur de ®, au moyen de laquelle on trouve Fo = K® = se Fe. ë

Connaïssant F@, on connaîtra Ja partie LF@ qui entre dans la valeur de E?; quant à la seconde partie Pc sin @, elle se trouvera d’une manière très simple par là formule :

mn a Lt 1 fONt , 55 Jos y fee Pe sing = zee*[ 1 + +50) +10) } | où il faut observer que le premier terme 4 ey/c° = 2(1 — b), se trouvera immédiatement par la Table des sinus naturels à 15 décimales, comprise dans la Trig. Brit., si toutefois l'angle du module 8 s'exprime exactement en degrés et centièmes de degré. . “

809. Pour vérifier cette valeur de Pc sin ®, il faut, dans la formule générale Pesm® = + cy/c° sing" (1++ c° cos @° + 3 c°c°° cos @° cos p®° + etc. ), substituer les valeurs cos &° = c°, sin @° = ETS) F > ce qui donne d’abord | : Lev/c° Pcsing == Fe

ds | RE ; ensuite pour avoir l’expression des quantités cos &°*, cos æ**, je reprends

1e 36% + Lot 0° cos °° pc" 0° co cos a°° case tue.

les équations tang &° = b° tang @°, @ = g° + w°, tanga® = = ss... tang °° — b* tang g*, jen déduis successivement : — tangg® + tange° (1+6)c ange" 2 tang@® tang a° cp ?

bre (1 + Bb) __ 264/b°

tang °° —

b 7 tangi a = LE = tango. |/5, cos &° = - A

+) en continuant cette analyse, on trouvera .

. aus 00 1° 00 0° — tangt a°° lung à °°° = tang © 5 cos © == B°9Ftang" w° ?

ainsi à l'infini. On voit donc que dans le cas dent il s’agit, les quantités w, w°, &%, w%, etc., se calculent facilement ; savoir, la première au moyen de l’équation tang w = 6, la seconde au moyen de l’une des équa-

tions tang w° — £ , Sin &°—=#, cos w° = c° , tang+ "= tang w. Vi = VE,

les suivantes au moyen des équations tang + œ* — tang «°. V£- — ve ; tang + &°*° = tang a, 1/ je tang + &w°°% = lang æ°. , etc., ce qui offre des formules assez remarquables pour le cas où l’on a @ = 45°.

Maintenant qu’on connaît les valeurs de cos w° et cos w°*, si on les substitue dans l’expression de Pc sin @, et qu’on y substitue également les expressions connues de c** en c°, et de c*** en c*®, on aura, en développaut ces quantités jusqu’à la dixième puissance de c* inclusivement, l'expression que nous avous rapportée du terme Pe sin @, laquelle est très facile à calculer, et donne au moins 12 décimales exactes, tant que l'angle du module ne surpasse pas sin 45°.

C’est par ces formules qu’on a calculé les fonctions F (45°), E (45°) de la Table VIII, pour toutes les valeurs de l’angle du module de 0° à 45°; audelà de cette limite, on a fait usage de la méthode des modules croissans , art. 762, laquelle ne présente, pour le cas de ®9 = 45°, aucune formule remarquable , si ce n’est pour déterminer æ', l’équation sin 4° = b*,

810. Nous allons maintenant expliquer avec détail les différens procédés que nous avons suivis dans la construction de la Table IX, et nous prendrons d’abord pour exemple le calcul d’une Table particulière des fonctions E.

:- Soit & l'arc d’un degré, Ua 5; soitw—=p#}1æ,e.........

(1 — c* sin w)= 4 (w) ; si on prend auxiliaire p = 4Aw, on aura en général pour construire la Fable des fonctions E, la formule

JE=p+ d'p° — pes NP" + ete.

On calculera donc pour les valeurs successives @ = 0°, 1°, 2°, 3°, etc., les valeurs correspondantes de l’auxiliaire p; on observera de plus que la valeur p pour @ = — 1° serait la même que pour ® = 0°; on placera donc deux fois cette première valeur de p, l’une sur la ligne deg = 0, l’autre sur la ligne supérieure, ce qui sera nécessaire pour former cette ligne où l'on doit trouver la différence seconde d'p° qui entre dans la première valeur de J'E, celle qui répond à @ = a.