EFFORT

par centimètre carr>« ( valeur de f ).

\ Acier

kilogramme*.

Ces nombres représentent la force de cohésion immédiatement avant la désunion des premières particules , ou bien la force qui réunit les lames prismatiques deux à deux , avant que la force de traction ne les ait séparées. C’est ee que nous appelons force de section. On peut aussi adopter, avec la même raison, le nom de force absolue, puisqu’elle s’exerce dans sa forme la plus simple, sans être modifiée par aucune dépendance d’une circonstance étrangère.

On doit remarquer que les différentes valeurs que nous avons attribuées à I, pour les divers métaux, ne doivent pas être considérées comme parfaitement sûres. Elles ont été déduites d’expériences , et ne doivent être prises que comme des moyennes déterminées dans un certain nombre de circonstance» différentes. Les variations, pour les différents cas, sont considérables, puisqu’Aueune substance ne présente une texture ou un degré de fermeté invariable. La qualité des métaux varie suivant une foule de circonstances diverses , la plupart inconnues, qui dépendent soit de leur degré de pureté, soit du degrc de chaleur auquel leur fusion a eu lieu, etc. Lorsqu'on voudra appliquer les nombres du tableau precedent, U faudra, pour écarter toute cause de danger, employer les matériaux avec un degré de forer un peu supérieur a celui qui est indiqué par la théorie

II. — BKSI5TAVCE DES MATÉBIAI'X SOCMIS AUX EFTOBTS UE FI.EXTOX TRANSVERSALE . A 1. 1 SS A VT PEBPEVDÏCVL AIBEVRVT A LEU B LOXCI EUB.

L’effort de flexion transversale est le plus commun, et, en même temps, le plus considérable de tous ceux auxquels les corps sont exposés à être soumis. Ce n’est que rarement, cependant, que cet effort se présente sons une forme parfaitement simple. Lorsqu'on applique une force a l'extrémité d’une poutre horizontale, encastrée par l’autre bout dans on mur, la poutre se rompt ordinairement en un point voisin du mur. Durant le temps de l’opération , les parties intermédiaires de la poutre, entre le point d'application de la force et celui de la rupture, ont rempli l'office de levier. Ainsi, on ne peut considérer ce cas comme un simple cas de rupture transversale, puisqu'il y a une complication d'effet due A l'action du levier. Le seul cas, peut-être, où l'on puisse dire qu’un corps est soumis à un effort de flexion transversale simple, sans complication d'effet étranger, est celui où il se trouve serré par une paire de pinces on de cisailles. Comme c'est là un cas exceptionnel , nous ne nous arrêterons pas à l'examiner. Nous dirons seulement que, dans cette circonstance, la force de résistance de In pièce, soumise à l'effort qui

Ces valeurs du coefficient f paraissent assez faibles. Voici les chiffre* que donne M Morin dans son AliU~Mémêirr dt

mf'amqm praftfSM ♦

Fonte . \ 250 lui.; — Fer * 2400 kil. ; — Acier : 7300 kil.

PROPORTIONS DES MACHINES

tend a la rompre, est proportionnelle a l’aire de la section. Nous allons considérer actuellement le cas le plus général, et le plus important d'ailleurs, celui dans lequel les effets de flexion transversale s»* trouvent compliqués de l'action du levier. *

Avant d’aller plus loin , et avant d'étudier théoriquement la force de résfotance#de$ solides à un effort de flexion transversale, nous devons remarquer que nos connaissances, touchant la maniéré dont se manifestent à nos sens les effets de la cohésion moléculaire des corps r sont encore extrêmement imparfaites. Galilée, dont le nom est si brillamment inscrit dans les annales des sciences physiques, fut le premier qui chercha à traiter ce sujet important d'apres les principes de l'analyse mathématique, et il essaya de déterminer la loi des forces de résistance que les différents corps possèdent , en raison de la longueur, la largeur, l'épaisseur, la forme et la position de ces corps. Il arriva à cette première conséquence, qui est exacte, que, lorsqu'une piece prismatique est soumise à un effort de traction longitudinale, sa force de cohésion absolue est proportionnelle à l'aire de la section transversale. Mais, lorsqu'il voulut rechercher l'eflicacité des résistances aux efforts transversaux , les conséquences auxquelles II arriva furent erronées. Cette recherche est, en effet, d'une toute autre difficulté que la première, car nous sommes loin de voir aussi clairement de quelle manière et dans quelle proportion les forces de résistance agissent.

Galilée partit de cette hypothèse que, lorsqu’un corps prismatique, supporté par ses deux extrémités, est chargé d’un poids au milieu, toutes les fibres de ce corps exercent des résistances égales pour prévenir la rupture, et que, lorsque ces résistances sont vaincues , le plan , ou la section suivant laquelle la rupture a eu Heu, tend à tourner autour de la ligne transversale de rupture, en contact avec le point, comme axe principal de rotation. En déduisant les conséquences analytiques de ce principe, Galilée arriva définitivement à cette conclusion : lorsqu'un corps prismatique est solidement fixé à un mur, ou à toute autre masse immobile, dans une position horizontale, la résistance des fibres intégrantes du corps à la rupture est proportionnelle à leur somme multipliée par la distance du centre de gravité de la section de rupture au point le plus bas de cette section.

Les conséquences de cette théorie sont , certes , d'une grande simplicité ; mais , malheureusement , l'hvpothèse n’est pas conforme à ce qui sc passe dans la nature. Elle admet, par exemple, que le corps prismatique est parfaitement inflexible, excepté au point de rupture. Or, nous savons qu’il n’y a point de corps parfaitement inflexible. Elle admet, en même temps, que les fibres sont inextensibles et incompressibles , ce qui est encore contraire ù toutes les expériences.

La théorie de Galilée, appuyée sur des bases aussi peu exactes , devait donc conduire nécessairement a des conclusions que l’expérience ne pouvait confirmer. La première personne qui attira l'attention sur ces défauts de la théorie de Galilée fut Mariotte. Les quelques observations qu’il présenta à cet égard, dans son ouvrage intitulé Traité du mouvement des eaux, excitèrent la curiosité de Leibnitz, qui proposa immédiatement une nouvelle théorie. L’hypothèse qui servit de base à la théorie de Leibnitz coïncidait avec celle de Galilée, en ce qui concerne l’axe de rotation autour duquel la section de rupture tend à tourner. Leibnitz admettait en effet, comme Galilée, que cet axe passait au point le plus bas de la section de rupture, lorsque le corps prismatique n’était fixé qu’à une de ses extrémités ; et , au point le plus élevé, lorsque le corps était supporté par ses deux extrémités. Mais il rejeta l'hypothèse de l’égale résistance des fibres dans toute la section de rupture. Ayant remarqué fréquemment qu’un corps, avant sa rupture, subit toujours une flexion plus ou moins sensible, Leibnitz en conclut que les fibres de tous les corps étaient extensibles. Adoptant alors le principe, émis pour la première fois par le docteur Hooker, ta force est proportionnelle au detjré de l'extension. Il admit que chaque fibre de la section de rupture exerçait une force de résistance proportionnelle à l'extension qu’elle devait subir, ou, ce qui est la même chose, proportionnelle à la distance qui séparait cette fibre de l’axe autour duquel la section devait tendre à tourner. Les résistances des diverses fibres n'étaient doue plus égales , puisqu’elles devenaient

RÉSISTANCE DES MATERIAUX

proportionnelles a leurs distances respectives d’une certaine ligne de rotation. Mais, en adoptant la même position pour cette ligne que celle qui avait été déjà imaginée par Galilée , Leibnitz admettait encore l'incompressibilité des fibres.

Cette théorie de Leibnitz, tout en présentant l'erreur fondamentale que nous venous de signaler, était, cependant, beaucoup plus prés de la vérité que celle de Galilée. Bien que ces deux théories difierent l'une de l’autre, et qu elles ne soient point conformes aux faits naturels, elles présentent, neanmoins, une coïncidence remarquable, en conduisant l’une et l’autre à une conséquence dout l’exactitude a été surabondamment prouvée par l’expérience. Il résulte, en effet, de ces deux théories, pour ce qui concerne la force de résistance transversale d'un prisme présentant une section rectangulaire, que cette résistance est proportion neile à la largeur du prisme multipliée par le carré de sa hauteur.

Enfin James Bernouilli proposa une troisième théorie. Ce sav ant remarqua qu'à l'instant ou un corps se rompt sous un effort transversal, une partie des fibres de ce corps est bien dans un état d'extension, mais qu’une autre partie est dans un état de compression. Que cette remarque ait échappé ou non à Galilée et à Leibnitz, il n'en est pas moins vrai que personne avant BemouÜli n’en avait fait un clément de la question. Bernouilli fut donc conduit à admettre que l’axe de rotation ne se trouvait point à l’une des extrémités, supérieure ou inférieure, de la section de rupture, mais bien dans l’intérieur même de cette section, au point ou les fibres cessaient d’être tendues et commençaient a être soumises à des efforts de compression. On donne, généralement, à cet axe de rotation le nom d’axe neutre central, parce que les molécules, qu’il est suppose traverser, ne sont soumises ni à des forces d’extension ni à des forces de compression.

La théorie de Bernouilli Ta emporté sur toutes les autres jusqu'à présent, et les résultats quelle a donnés sont d’ailleurs confirmés par l’expérience. Nous allons énoncer maintenant les règles principales qui concernent les résistances des différents corps aux efforts de flexion transversale. Mais nous voulions faire voir, par les quelques considérations historiques qui précedeut, combien les recherches les plus simples, en apparence, nécessitent d’efforts de la part des esprits les plus éminents, pour conduire à des conclusions conformes à la raison et aux faits.

Fie. 164.

Supposons que, par la section de rupture d’un prisme quelconque soumis à des efforts transversaux, ou fasse passer un plan normal à l’axe du prisme. Nous admettons , pour plus de clarté, dans la figure ci-jointe, que le prisme est un parallélipipèdc droit. La ligne des fibres invariables, c'est-à-dire la ligne suivant laquelle sont réparties les libres qui ne sont ni comprimées ni détendues, est, d’après le principe de Bernouilli , située dnus l’intérieur de la section. Des expériences récentes semblent prouver que cette ligne est généralement plus rapprochée de la partie supérieure du corps que de la partie inférieure. Mais, Prtmttre S*clion. 29

ne

PROPORTIONS DES MACHINES

dans aucun cas , l’axe des fibres Invariables ne s'écarte beaucoup de l’axe naturel du corps ; et , lorsque ce corps est symétrique par rapport à une ligne quelconque, on peut adopter le position de cette liane pour celle de l'axe neutre. Cette conclusion est purement expérimentale, car, jusqu'à préscut, la théorie n'a jamais pu s’appliquer avec succès à la solution directe de la question.

Prenons le point À , supposé appartenir à l'axe des fibres invariables , pour l'origine de coordonnées rectangulaires à trois dimensions. L’axe des x est parallèle à l’axe naturel du prisme, supposé horizontal ; l’axe dos s est vertical , c’est-à-dire qu'il est dirigé suivant la hauteur du corps , et l'axe des y est dirigé dans le seos de la largeur. Nous supposons, de plus, que b soit la plus grande hauteur du corps, évaluée dans le sens suivant lequel agit l'effort transversal. D’après le» dispositions de la figure, cet effort aurait lieu verticalement, et la hauteur b ne «Tait autre que l’épaisseur du parallélipipéde.

R désignant , en kilogrammes, l’effort sous lequel la rupture a lieu ; I, la distance à laquelle l'effort agit à partir du point de rupture ; et , colla , j, le coefficient de la cohésion, nous avons , pour la valeur du moment R / :

Les quantités l et b expriment des centimètres du moment que / est la force de cohésion des molécules du corps en kilogrammes par centimètre carre.

La première intégrale doit être prise, entre les limites convenables, par rapport à l'axe des y; te seconde doit I être par rapport à l’axe des z, et, dans les hypothèses ci-dessus , cotre les limites — et -f- — . Nous aurons donc, d’une manière générale :

FlC. 184.

Si le prisme, soumis aux efforts transversaux , donnait en section un rectangle, comme dans la figure d-jolntc , la base de ce rectangle étant représentée para, et la hauteur suivant laquelle l’effort de flexion transversale a lieu , par b, l’intégrale précédente deviendrait :

a, b et I sont exprimés « centimètres ; J, ou le coefficient de cohésion, en kilogrammes par centimètre carré, et R en kilogrammes.

En supposant que le rectangle fût un carre ayant pour côté a, l’expression du moment de l'effort transversal de rupture serait:

R,=Av

Si , la section étant toujours carrée, l'effort agissait dans le sens de la diagonale, on aurait :

Ri

RÉSISTANCE BBS MATÉRIAUX.

Si ta section était une ellipse, avec tes notations de la ilgure eteontre, mms aurions :

Daus te cas d’un cercle, comme on a :

a = A sus r,

te formule précédente deviendrait :

Fis. tes.

Prenons te cas d’un cylindre elliptique creux qui sentit soumis à des efforts transversaux; et, en supposant que la figure 109 soit la section de ce cylindre, admettons tes désignations suivantes :

O A U B - h. . . O A' = a, OB' = ir'.

Fie. 109.

Le moment R / de la résistance transversale de ce cylindre creux sera évidemment égal au moroen de la résistance totale dn cylindre supposé plein , moins le moment de la résistance du petit cylindre elliptique intérieur, qui serait également supposé plein. En traitant directement la double intégrale d’après cette considération , on obtient :

Rf = /~ job»— S'A» |

Si les deux ellipses étalent semblables, nous aurions ;

et l’expression précédente deviendrait :

Rl=/--ï-ud>| i— n* |

En supposant que 1e cylindre areux soit un cylindre circulaire, on aura :

et, par conséquent :

s étant le rapport du petit rayon au grand.

Nous profiterons de ce dernier exemple pour faire voir que, à égalité de matière, un arbre creux offre une résistance sensiblement pins considérable qu’on arbre plein. Cherchons . en effet , te rayon d’un cylindre plein , dont la section offrirait ta même aire superficielle que celte de l’anneau circulaire donné par te cylindre creux. Nous aurons, pour déterminer ce rayon r, :

nrt* — * r* — k n* r* n r* (t — n*),

d’od : r, e= r 1 — n •

PROPORTIONS DES MACHINES

Or, le moment R, / de la résistance transversale de ce cylindre étant :

Nous aurons :

R,/— r> | I — H* | l/l — »■ Nous avons donc, en comparant les résistances dans les deux cas :

ou , en simplifiant : R:R,::I+b>:1/| — b*

Il résulte, de cette proportion, que R est toujours plus grand que R,. Ainsi , u égalité de matière ou de poids , un arbre creux offre une résistance plus grande qu’un arbre plein. Si , par exemple, le rayon

de la partie creuse était la moitié du grand rayon , nous aurions « = ÿ , et le rapport précèdent serait :

ou : R : R, : : s : S, 46.

Nous voyons, par cette proportiou, qu'il existe une différence notable dans les deux résistances. Comme il résulte, en outre, de l'examen des formules précédentes , que la résistance croit en raison du carré de la hauteur, et de- la première puissance seulement de la largeur, nous devrons , quand il faudra fortifier un corps quelconque contre des efforts transversaux , sans augmenter le poids , choisir, an lieu d'un arbre plein, un cylindre elliptique creux. I.a nature , dont l'économie des moyens est toujours si essentiellement intelligente, offre une application remarquable de l'action des forces dans la construction du corps humain. Nous voyons , en effet , que ceux de nos os qui ont A subir des efforts transversaux assez considérables sont creux et ont de grands diamètres ; de sorte que, tout en présentant une résistance suffisante aux efforts qu’ils peuvent nvoir & supporter, ils ne nuisent point , par leur poids , à la légèreté de nos mouvements.

Fie. HO.

Fie. ni.

Donnons encore les formules de résistance transversale pour les deux formes indiquées par les ligures 1 70 et 1 7 1 , qui se présentent assez fréquemment dans la construction des machines à vapeur.

Pour ces deux sections nous avons, en adoptant les notations des figures , la formule suivante :

f(ab‘~ o't'»)

Dans toutes les formules qui précédent, nous supposons que l'effort R agit normalement à la barre prismatique, supposée encastrée à l'une de scs extrémités , et i une distance f du point d'encastrement.

Ou bien encore, nous supposons que le pièce est maintenue en son milieu sur un point fixe par l’action d'une autre force égale, comme l'est , par exemple, le balancier d’une machine u vapeur. Il est clair

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

que, dans ce cas, la distance l doit être comptée à partir du point où agit directement la force, jusqu'à la section du balancier dont on veut mesurer la résistance à la rupture transversale.

Ces formules sont encore applicables, avec les acceptions précédentes, aux efforts transversaux supportés par des pièces qui , sans être encastrées à leurs extrémités , sont assujetties , comme (es manivelles, à tourner autour d’un point ûxe. En un mot, elles sont vraies pour tous les efforts transversaux, du moment que Ton évalue convenablement la distance /, à laquelle l’effort agit sur le point que l'on considère.

Si la pièce est supportée à ses deux extrémités et reçoit l’effort en son milieu , / étant la longueur de la pièce, on ne devra multiplier le poids de rupture que par — / dans les expressions précédentes, c'est-à-dire que l’on aura pour une section rectangulaire :

ou bien : R /

Au lieu d'être supportée, la pièce peut être encastrée par scs deux extrémités : il ne faudra multiplier alors R que par-^* ^ aura> toujours pour uoe section rectangulaire :

R — = f , ou : R / :

8 fi

Les formules relatives aux autres formes devront être modifiées d’une manière analogue pour devenir applicables à ce cas.

Enfin, si le poids de rupture, au lieu d'agir en uu seul point, était réparti uniformément sur toute la longueur, les formules seraient les mimes, sauf qu’il faudrait remplacer R par - R.

Jusqu'à présent, nous n’avons point tenu compte du poids propre de la pièce soumise aux efforts transversaux. SI l’on voulait avoir égard a ce poids, qu’il est permis de négliger dans la plupart des circonstances, les formules se modifieraient de lu manière suivante.

Soit p le poids de la barre prismatique, la résistance, au lieu d’être exprimée par R /, le sentit par :

c'esl-a-dire qu'il faudrait remplacer R par R -f- — p dans les formules precedentes.

Soit, plus généralement , F, la résistance à l'effort transversal , quand on tient compte du poids de la pièce, ou aura :

L'influence de la forme sera, d'ailleurs, toujours la même que dans les cas précédents, et il suffira de remplacer dans les formules le moment R f par F.

«iSISTAMCE DES MATÉRIAUX SOUMIS AUX KFFORTS 01 TORSIOR.

Nous avons établi déjà que la résistance des matériaux aux efforts de différentes natures dépend de la force de cohésion qui réunit entre elles les molécules du corps , et nous avons vu quelle est l'influe uct*

PROPORTIONS DES MACHINES

de cette force lorsque les efforts exercés sur le corps sont des efforts de traction longitudinale ou de flexion transversale. Il nous faut rechercher maintenant le rôle que joue la cohésion de la matière lorsque le corps est soumis à des efforts de torsion. La solution de cette question présente encore plus de difficultés que dans le cas précédent, en raison des hypothèses plus ou moins vérifiées qu’elle exige sur l'action comparative de résistance à ce genre d’effort de la part des fibres dlsscmblaMement placées.

Cependant, bien qu’il nous soit impossible de nous faire une idée très nette do la loi suivant laquelle sic modifie l’action de la cohésion pour résister aux efforts de torsion , nous pouvons admettre , sans aucun doute, que, lorsque des molécules sont semblablement situées et agissent également , leur résistance totale est proportionnelle à leur nombre. Admettant ce premier principe, dous bnaginerons un tube de matière quelconque , mais infiniment mince, et présentant une section transversale suivant laquelle la force normale de cohésion soit un peu plus faible que pour les autres sections. Il est clair que si ce tube est contourné u la fois et en sens contraire par ses deux extrémités, de manière à être obligé de se tordre autour de son axe, il devra finir par se rompre suiv ant la section transversale de moindre résistance.

Or, la petite surface annulaire , que l'on obtient dans cette section , aura une épaisseur infiniment mince, représentée par d r, r étant le rayon du tube, et l'on pourra considérer toutes les molécules de cette section comme étant semblablement disposées et agissant d'une manière Identique. Dès tors, leur résistance totale devra être proportionnelle à leur nombre, et, par suite, A la surface annulaire infiniment petite que nous venons d'imaginer, ayant pour circonférence 2 jr r, et pour largeur d r. Ainsi donc, in résistance totale à la lorskm d’un tube Infiniment mince,

Sera proportionnelle A J»rX<fr

Ou égale A 2 * C r x rf r

C étant un coefficient constant.

Nous pouvons supposer maintenant qu’il y ait un second tube dans l’Intérieur du premier, puis un troisième, et ainsi de suite, jusqu’à ce que, se superposant ainsi l'un sur l'autre, tous ces petits tubes du centre à la dernière surface tubulaire forment un cylindre plein. La résistance totale de ce cylindre sera égale a la somme intégrale des résistances partielles de chacun des tubes infiniment minces. Nous aurons donc, pour cette résistance R :

et , en Intégrant entre les limites indiquées :

La résistance à la torsion est donc proportionnelle A la surface de la section du cylindre. Quand un effort de torsion , tel que nous l’avons supposé, se produit , il est clair que les fibres extérieures sont soumises à des extensions circulaires plus considérables que les fibres voisines de la partie centrale. Il est Impossible de déterminer, à priori, la loi qui régit le degré de ces extensions circulaires. Mois, si nous admetlons, par hypothèse, que les extensions des fibres sont proportionnelles A la a*" puissance des distances r de ces fibres A l'axe du cylindre , la constante C pourra se mettre sous la forme :

C = * X r* * étant un coefficient constant.

Nous aurons donc, pour la résistance du cy lindre :

îhAXt**’ » + 2

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. SSI

Dans le cas d'une force transversale , nous avons admis que l'effort d’extension ou de compression exercé sur une libre était proportionnel à la simple distance de la fibre à l’axe neutre, ou axe des fibres invariables. U est très probable que la loi est la même dans le cas d'une force de torsion. Si nous l'adoptons, nous aurons n = I, et, par suite :

R = — ir. k. r*,

C’est-à-dire que la résistance est proportionnelle au cube du rayon ou an cube du diamètre du cylindre. Cette proportionnalité n'a certainement point été démontrée d’une manière rigoureuse, puisque nous avons admis, par pure hypothèse, que l'extension des fibres est proportionnelle à leur distance de l’axe de ligure. Mais, outre qu’aucune autre hypothèse n’est plus probable que celle-ci, l'expérience est venue pleinement la couürmer, en constatant l’exactitude de la loi à laquelle elle conduit, c'est-à-dire, en prouvant que la résistance d’un cylindre à la torsion est proportionnelle au cube du diamètre. Il est évident, d’ailleurs, que cette résistance dépend de la nature particulière de chaque corps, ou, plutôt, de la force de cohésion J, qui lie entre elles les diverses particules de la matière.

Pour nous résumer et généraliser les considérations qui précèdent , nous dirons : lorsqu'un corps solide prismatique, encastre par une de ses extrémités, est sollicité par une force qui agit dans un plan perpendiculaire à sa longueur, en tendant ainsi à le tordre, les degrés d’extension circulaire, c’est-àdire les angles de déplacement de chacune des libres longitudinales du corps, sont : i« Proportionnels à la distance de ees libres à l’axe de ligure ou de symétrie du solide ;

5» Proportionnels à la distance de la section que l’on considère à celle qui est encastrée.

RlSISTMCE DES COUPS SOUMIS ODES EFFORTS DE COMPRESSIOR.

D est encore plus difficile Ici que dans les deux cas précédents d’apprécier de quelle manière se modifie la force de cohésion des molécules d’un corps pour résister i des efforts de compression ou d’éerasemeot.

Lorsque la longueur d'une colonne est beaucoup plus grande que sa largeur, cette colonne , avant de rompre sous un effort de compression , se courbe et prend une flèche sensible dans un sens ou dans l’autre. Il n’y a donc plus seulement écrasement, puisqu'une partie de l’effort de rupture agit comme forte transversale. Ce n’est que lorsque la colonne est trop courte pour pouvoir se recourber que sa résistance à l’écrasement est limitée par la résistance directe que les molécules opposent à ce genre particulier d’effort.

Les considérations théoriques n'ont été, jusqu'à présent, d'aucun secours pour la détermination de la résistance absolue de la matière à l'écrasement. I.a première personne qui s’occupa sérieusement de cette question fut Euler, qui publia, vers l’année I7S7, un ouvrage Intitule : Insistance des colonnes a l'écrasement. 11 arriva à cette conséquence que la force des colonnes est proportionnelle à la quatrième puissance du diamètre. Nous devons dire que sa théorie n’était fondée que sur de pures hypothèses, et que ses conclusions ne peuvent inspirer aucune confiance qu’autant qu’elles soient vérifiées par l’expérience. Or, tontes les expériences faites à ce sujet tendent à prouver que la résistance des colonnes ne croit point dans nne proportion aussi forte que la quatrième puissance dn diamètre.

D’autres savants ont avancé que la résistance à l’écrasement de colonnes prismatiques quelconques était simplement proportionnelle à l’aire de la section transversale. Il résulterait de là que , pour les colonnes cylindriques, la résistance est proportionnelle au carré do diamètre. Les expériences prouvent encore que oette proportionnalité n’est point tout a fait exacte, et que la résistance augmente pins rapidement que le carré du diamètre.

PBOPORTiONS DES MACHINES.

Ia » expériences sur l'écrasement des matériaux présentent de graudes difficultés en raison des charges énormes qu'elles nécessitent. C’est pourquoi on ne doit pas trop s'étonner des différences sensibles qu'elles donnent dans les résultats obtenus. Si, cependant , elles paraissent concorder eu un point, c’est que la résistance des colonnes cylindriques est, à peu de chose prés, proportionnelle au eube du diamètre. Mais nous ne sommes point heureusement obligés , pour tout ce qui concerne les parties des machines a vapeur, de considérer la résistance absolue de la matière aux efforts de compression. Toutes ces parties, eu effet, sont d'une longueur telle, par rapport à leur largeur, qu’elles sont forci es de fléchir avant de rompre. Des lors leur résistance a l’écrasement est toujours incomparablement plus grande que celle qu’elles doivent présenter, apres avoir subi une fiexiou,pour résister à l’effort transversal qui en résulte. C’est donc surtout contre la flexion des pièces que l'on doit se prémunir.

C'est une règle générale, sanctionnée par l’expérience, de ne jamais charger une colonne avec une force supérieure à l'intensité de sa force élastique. Ainsi, pour une colonne cylindrique, dont le diamètre de la section transversale serait égal à <1 centimètres, la plus grande charge que l'on pourrait atteindre avec sécurité aurait pour limite :

* — X f<= 0,7854 x il’ X /.

/ étant le coefficient de la cohésion, par centimètre carré.

Cette charge ne pourrait être dépassée sans danger, lors même que la force agirait exactement suivant l'axe du cylindre.

Lorsque la forée de compression agit en quelque point en dehors de l’axe central, son efficacité se trouve considérablement augmentée par la tendance qu'elle a a faire plier la colonne, et cette efficacité augmente évidemment en raison de la distance du centre au point d'application de la force. Cette dernière circonstance se rencontre presque constamment dans les differentes pièces d’une machine à vapeur soumises à des efforts de compression. Il est évident, en effet, que le cas exceptionnel a lieu lorsque les pièces, qui constituent le mécanisme de transmission de mouvement, ne sont soumises qu'à des forces de compression agissant exactement dans la direction de l’axe. On doit considérer, au contraire, d’une manière générale, les tiges comme étant soumises, à certains moments, a des forces agissant à une distance de l’axe central égale a la moitié du diamètre de la tige. U serait inutile de rechercher ici, par des considérations théoriques, l'accroissement que reçoit l’énergie des forces de compression lorsqu’elles agissent a une certaine distance de l’axe, au lieu d'agir directement au centre. Les conséquences que l’on déduit, en effet, de la théorie, dans les questions de cette nature, doivent inspirer toujours peu de confiance, en raison des hypothèses plus ou moins probables qu'elles nécessitent. ISous préférons présenter la récapitulation suivante des quelques lois qui out été indiquées par l'expérience et qui, si elles ne sont pas exactes d’une manière absolue, le sont assez néanmoins pour conduire aux résultats les plus satisfaisauts.

1° Pour des prismes semblables, la résistance à f écrasement est sensiblement proportionnelle a la base;

2” Pour des prismes de même hauteur et de bases equivaientes, elle diminue a mesure que le contour de la base augmente ;

3* Le maximum de résistance a lieu pour les prismes dont les bases sont carrées ou circulaires;

4" Le maximum de résistance a lieu pour les corps de forme cubique ; elle diminue quand la luiuteur du prisme devient plus grande ou plus petite ;

.ï° En représentant par l lu résistance à l'écrasement d'un cube dont le côté est 1, la résistance du prisme varie conformément aux chiffres du tableau suivant, si Pou vient a augmenter la hauteur :