CHAPITRE XXIIL

si.

ARC-BOUTEMENT.

370. Le frottement, qui se présente à nous comme diminuant toujours le travail transmis utilement dans le mouvement des machines, peut, dans certains cas, apporter une entrave absolue à ce mouvement, de telle façon qu'en augmentant indéfiniment l'intensité des efforts, on arriverait a la rupture et à la dislocation complète de l'appareil , avant d'avoir provoque sa mise en marche. C'est là une des propriétés les plus caractéristiques de la force de frottement qu'on appelle Y arc-bout ement.

Le fait apparaîtra clairement dans les exemples qui vont suivre, mais on peut le faire prévoir d'uue manière générale. En elfet, d'après la Joi fondamentale, la réaction de deux pièces en contact a une direction absolument assignée que rien ne peut faire varier (355) ; son sens sur cette direction est également déterminé pour chacun des deux corps, car il s'étend, bien entendu, de l'autre corps vers lui. Enfin son intensité, sans être déterminée, ne peut être nulle et à plus forte raison négative. Au contraire, toutes les forces que nous appliquons directement sont à notre disposition comme grandeur, direction et sens. On comprend donc que l'on puisse placer ces forces dans des conditions telles, que les équations de projections ou de mo-

ments dans lesquelles elles figurent avec les forces de réaction fournissent pour celles-ci des valeurs négatives. Or, nous venons de dire que ces valeurs ne peuvent recevoir aucune interprétation, puisqu'il ne doit pas être question d'opposition de sens. Il faut donc en conclure que le mouvement uniforme que représentent ces équations, et à fortiorilc mouvement accéléreront impossibles, de sorte que le système ne pourra se mettre en marche.

11 faudrait bien se garder d'étendre cette impossibilité au repos, sous le prétexte qu'il est aussi représenté par les équations d'équilibre. On voit en effet qu'on serait conduit par là à une absurdité évidente, car il faut bien que le système soit en repos ou en mouvement. Mais d'ailleurs on doit se rappeler que dans le repos (330) la position de la réaction totale n'est plus déterminée à priori comme dans le mouvement. L'angle qu'elle fait avec la normale est alors quelconque, et l'on sait seulement qu'il reste compris entre les limites zéro et y. On pourra donc toujours lui trouverunc valeur capablede satisfaire aux équations, puisqu'en abaissant cet angle à la rigueur jusqu'à zéro, on rentrerait dans le cas des liaisons théoriques pour lesquelles on ne rencontre jamais d'entraves de cette nature.

371. Cette propriété curieuse se prête parfaitement à la construction des encliquetages, appareils destinés, comme nous l'avons vu (246), à permettre le mouvement dans un sens et à prévenir le retour en arrière. Il sufGra en effet, en thèse générale, de disposer les éléments du mécanisme de manière que l'impossibilité dont il vient d'être question se manifeste pour ùn sens de mouvement et non pour l'autre. Et il n'y a là rien que de très-facile à concevoir, puisque toutes les forces de réaction changent à la fois de situation avec le sens du mouvement (347).

Ces encliquetages ont sur les rochets le grand avantage

3j8 ÉTCDE DYNAMIQUE DES MÉCANISMES.

d'éviter le temps perdu (2-46), et aussi leferraillcmcnt (2i7) qui esta peu près inséparable de ces appareils.

372. Arc -boulement direct, — Le plus simple des cas d'arc-bontement se présente lorsqu'on appuie trop normalement sur un corps pour le faire glisser le long d'un autre.

Supposons en effet, pour fixer les idées, la tendance vers la gauche. La réaction R se trouvera à droite de la normale sous l'angle <p. Si donc la puissance P est inclinée de a. > <p, leur résultante F sera dirigée vers la gauche et produira Je mouvement. Si a < 9, elle se trouvera inclinée vers la droite, ce qui est inconciliable avec l'hypothèse du départ vers la gauche qu'elle doit déterminer. Le glissrmeut aura donc lieu dans le premier cas, et sera impossible daus le second,

373. Ce principe explique pourquoi un corps pesant posé sur un plan trop peu incliné reste en équilibre (315) et ne commence à descendre que lorsque l'inclinaison dc\ient égale à l'angle de frottement. Il permet par suite d'établir les plans de joints daus les massifs de construction, sans qu'il soit nécessaire de constater l'horizon tali lé rigoureuse de ces plan3.

Ce principe permet de même d'établir les plans de joints dans les voûtes, sans la connaissance rigoureuse de la courbe des pressions à laquelle ils doivent être normaux \ car il permet une latitude égale à <p de part et d'au ire, sans que le voussoir se trouve contraint de ressortir en glissant sur les faces voisines.

374. Vis à filet carré. — Nous avons reconnu (36G) que l'influence du frottement sur la vis à filet carré se ré* duit à la rendre plus rapide ou plus lente de l'angle de frottement, suivant que l'on envisage le mouvement descendant ou ascendant.

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU FROTTEMEKT. ÔJQ

L'inclinaison théorique de la vis pour la descente est donc ï -hg>. Elle doit bien entendu rester inférieure à l'angle droit

i-r-?<9o î<go — ?.

Celle de la montée sera de même i — 9, et comme elle ne peut être négative,

D'après cela, pour qu'une vis puisse fonctionner dans les deux sens comme organe de transmission, il faut que les conditions précédentes soient remplies à la fois ou que Ton ait

«?</<go —

la vis n'étant ni trop lente ni trop rapide.

Si au contraire on considère les vis de pression ou d assemblage, elles doivent fonctionner comme encliquetages en effectuant la descente, mais en s opposant au retour en arrière que tendrait à provoquer la résistance. Il faut donc que la première condition se trouve remplie, mais non la seconde,

et par suite la vis doit être suffisamment lente.

Pour desserrer il suffira d'agir en sens inverse sur les bras de levier.

On remarquera comme une conséquence curieuse des lois du frottement l'inégalité

qui doit être remplie par les vis de transmission. On voit par là combien l'appréciation des résistances passives est indispensable, puisque l'emploi de certains matériaux

38o ÉTUDE DYNAMIQUE DES MÉCANISMES.

pourrait rendre absolument impossible un mouvement que rien ne semble entraver à l'inspection d'une épure, et qui s'effectuerait en effet parfaitement avec d'autres matériaux.

375. Coin. — Lorsque le coin théorique subit des efforts perpendiculaires à ses faces, elles comprennent entre elles des angles égaux à ceux du coin. Or, lorsque trois forces sont en équilibre, chacune d'elles est proportionnelle au sinus de l'angle des deux autres, ce qui est aussi la relation des côtés d'un triangle. Donc les efforts subis par chacun des côtés du coin sont en raison de ces côtés.

Si nous avons égard au frottement, les réactions des faces latérales, au lieu d'être normales, se relèvent chacune de l'angle de frottement. Si donc nous imaginons un coin théorique qui soit plus ouvert que le proposé du double de cet angle, ses faces redeviendront perpendiculaires aux forces et les choses se passeront comme tout à l'heure. On peut donc dire que l'effet du frottement dans le coin est de l'ouvrir du double de l'angle du frottement pour le mouvement d'entrée. Et on reconnailraitdemêmequ'il revient à le fermer de la môme quantité pour le mouvement de sortie.

L'angle théorique devient donc pour l'entrée 2 (a 4-?), si 2 a est celui du coin matériel. Il est clair que cet angle doit rester inférieur à 180 degrés, donc

%{*+l)<iBo9 «<9°-?-

Il sera de même pour la sortie 2 (a — q>) ; mais comme il ne peut être négatif, on doit avoir de même

Il faudra ainsi, pour que le coin fonctionne comme pièce de transmission, que l'on ait à la fois

11 ne doit donc être ni trop aigu ni trop obtus (et la condition <p<45 degrés doit encore être remplie). El pour qu'il fonctionne pour le serrage, comme cale ou clef à* titre d'encliquelage, il faut poser au contraire

«<9° — ?» *<fi

l'angle doit être alors suffisamment aigu.

Pour desserrer, il suffira de frapper le coin par-dessous en sens inverse, à moins que l'on n'ait un contre-coin (35).

376. Valet. — Les menuisiers emploient, pour maintenir les planches qu'ils veulent mettre en œuvre, une pièce de fer appelée valet : sa tige traverse l'établi dans un œillet spécial, et son bec s'appuie sur la planche contre laquelle on le serre à l'aide de quelques coups de maillet. Le desserrage spontané est alors impossible sous des conditions que nous allons déterminer (Pl. XFI,Jig. a56).

Supposons le mouvement de sortie sur le point de prendre naissance; le valet sera soumis, outre la réaction F de la planche qu'il sert à maintenir, à celles R et R' de l'établi. Ces dernières se rencontrent en K assez près de l'œillet, pourvu que l'angle de frottement <p ait une valeur suffisante. Or il faudrait que la force F passât en K pour tenir en équilibre la résultante de R et R', et elle n'y passera pas si le bec est suffisamment long. Le valet se trouvera donc alors dans l'impossibilité de sortir.

Les conditions de l'arc-boutement sont par conséquent que le bec soit long par rapport à l'épaisseur de l'établi, et que le frottement soit suffisamment intense.

Pour desserrer il suffira de frapper quelques coups sur l'extrémité de la tige.

377. Le principe que nous venons d'expliquer pour le valet de menuiserie est évidemment plus général et con-

38a É uni: dynamique des mécanisme».

vient à toutes les tige* pincées, c'est-à-dire à celles qui sont d'une certaine largeur par rapport à la distance des "points entre lesquels elles sont guidées; lorsqu'en outre on les sollicite par des forces excentriques et éloignées de Taxe défigure des points fixes.

Ce fait se présente, par exemple, dans les tiroirs des meubles larges et peu profonds que l'on vient à pousser de travers*

Il arriverait encore dans les tiges des bocards que Ton soulève par un mentonnet latéral, si l'on n'avait soin de donnera ces tiges une assez grande longueur dont l'utilité ne s'aperçoit pas au premier abord, cl d'employer en même temps des mentonnels très-courts.

C'est encore une raison de plus (361 ) pour donner à la coquille des glissières de locomotives une longueur suffisante par rapport à sa largeur.

378. Encliquctage Saladin. — Le même principe a été appliqué par M. Saladin à la construction d'uu encliquetage (Pl. XFI,fig. 2^7) .

La tige passe dans l'œil de chacune des deux barres qui portent à leur extrémité des boules pesantes. La barre inférieure se trouve suspendue par une bielle très-courte à un point fixe. La seconde l est de la même manière à l'exlrémité d'un levier de manœuvre.

Si les barres gardent l'inclinaison de la figure, elles pincent la tige et empêchent son poids et la réaction des matières mises en presse de la faire redescendre. Il n'en serait plus de même si les barres se rapprochaient de l'horizontale. Alors l'œil, qui est plus large que la tige, présenterait un jeu suffisant et le passage redeviendrait libre.

D'après cela, imaginons que Ton agisse sur la poignée du levier de haut en bas. L'extrémité tend à monter, la boule à descendre par son poids, l'inclinaison à être main-

tenue. Le jeu est donc impossible et le levier fera monter la tige. D'ailleurs, celte tendance arrive facilement à vaincre le poids de la boule inférieure et à rapprocher la barre de l'horizontale de manière à ouvrir le passage.

Si au contraire on relève la poignée du levier, on abaisse l'autre extrémité et la barre supérieure tend à se rapprocher de l'horizontale. La tige n'est plus pincée et elle tend à redescendre. Mais par cela même la seconde boule abaisse par son poids la barre inférieure cjuî leprend son inclinaison et pince la tige. Celle-ci ne peut donc redescendre et l'espace gagné vers le haut se trouve conservé. Kn même temps le levier s abaissant, puisque son jeu est redevenu libre, la barre supérieure reprend la tige de plus bas, et tout est prêt pour une nouvelle opération.

Pour dépresscr on n'aura qu'à soulever à la fois les deux boules.

379. M. Saladin a aussi disposé un encliquetage à double effet (Pl. XVI, fig, a58) qui fonctionne comme celui de Lagarousse (218).

La jante d'une roue est prise entre des anneaux ou portions d'anneaux qui l'entraîneront s'ils la pincent par leur obliquité, et glisseront librement eu raison de leur largeur si on les maintient normalement à la circonférence.

Ils sont manœuvrés par des bras que la rotation fait mou* voir dans deux sens opposés. Il y en a dès lors toujours un pour lequel l'anneau pince la jante et l'entraîne, tandis que l'autre glisse à sa circonférence sous l'cilbri d'un ressort destiné à le maiutenir normalement. Puis les rôles changent à l'oscillation suivante. L'anneau libre devient menant \ mais comme il a changé de sens, le mouvement de la roue se continue du même côté.

Pour desserrer il suflît d'appuyer à la fois sur les deux anneaux de manière à les redresser normalement.

380. Encliquetage Dobo, — L'eneliquetage Dobo est formé d'une couronne et d'un noyau indépendants Y un de l'autre (Pl.XFl, Jig. aSp). Sur celui-ci sont montés les axes de quatre cames pressées contre la couronne par autant de ressorts d'une faible énergie.

Supposons que l'on imprime à la couronne la rotation fl: les choses se passeront comme le représente le croquis de la came O. L'action du ressort sera telle que F, celle de la couronne sera dirigée suivant R. En effet, le glissement relatif de la came par rapport à la couronne tend vers le haut, donc l'angle y doit être compté vers le bas. Ces forces passent de côté et d'autre du point O et ont des moments de signes contraires. Or, la condition d'équilibre d'un corps assujetti autour d'un axe fixe est que la somme des moments soit nulle par rapport à cet axe. Cette condition est facile à remplir. Le glissement relatif peut donc avoir lieu dans ce sens, et la couronne n'entraînera pas le noyau, pour peu qu'une résistance quelconque le maintienne.

Au contraire, si on agit sur la couronne dans le sens fl,', la force du ressort étant F, la réaction totale sera R' et passera, |M>ur peu que l'angle o soit notable, du même côté de O' que ry. La condition des moments est dès lors impossible à remplir, et le glissement relatif ne pourra avoir lieu dans ces conditions. Aussi la couronuc ne pourra tourner sans le noyau et l'entraînera malgré les résistances, pourvu que la puissance soit suffisante.

On voit par là qu'un mouvement alternatif de la couronne déterminera une marche progressive du noyau. Pour desserrer il suffira d'appuyer sur les quatre cames en sens contraire des ressorts.

381 . Le même phénomène d arc-boutement pourra se présenter dans les engrenages. Ce sont en effet, comme dans le cas actuel, deux courbes tangentes assujetties au-

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tour d'axes de rotation. Nous veuons de voir que l'arcboutement se produit lorsqu'on diminue par trop l'angle sous lequel la ligne des centres est vue du point de contact. De là une nouvelle raison plus décisive encore que la première (367), pour que le contact s'éloigne peu de celte ligne, et que son lieu géométrique s'en détache aussi normalement que possible.

382. u4 rcanseur-cale. — On appelle ainsi un appareil inventé par M. Blatin pour permettre le mouvement en avant des roues de charrette, en prévenant toute rétrogradation, de manière à soulager le cheval aux montées. Il consiste en un simple crochet assemblé autour d'une charnière O au châssis de la voiture, et qu'on laisse retomber par son poids sur la jante de la roue (Pl. XfrI^Jîg. 260).

Aux montées l'action Rt se trouve au-dessus du rayon du point de contact. Les moments du poids P et de R, sont de sens contraire par rapport à O, Je glissement est possible et le crochet n'exerce sur la jante qu'un frottement insignifiant. Si la roue tend à redescendre, la réaction se reporte en R;, les deux moments deviennent de même sens et le glissement est impossible. La roue se trouve ainsi calée comme par l'effet d'un sabot (256).