DE LA CORDE

o,o5io

o,oo3i

S iv.

EXEMPLES

409. Poulie. — La poulie élaut un corps solide assujetti autour d'un axe, son équilibre s'exprimera par l'équation des moments relatifs à cet axe. On devra y comprendre le moment P/* de la puissauce, celui Qr de la résistance, celui w-f-rcQ de la roideur (407), enfin celui du frottement des tourillons sur leurs coussinets. Kous en avons

trouvé (303) l'expression —===j~. Pp lorsque p désigne le

rayon de ces tourillons et P la résultante de toutes les forces appliquées. Si nous supposons, pour plus de simplicité, les cordons parallèles, cette résultante sera ici la somme P-f-Q de la puissance et de la résistance, en y négligeant la roideur qui se trouverait par là portée au second ordre. Nous obtiendrons ainsi l'équation

p,- — Qr — (m-f-"Q)- ~=4=(PH-Q)p = o.

ÏIÊSISTÀNCES DES CORDES. 4a7

On en tire :

c'est-à-dire une expression linéaire de la forme

dans laquelle nous pourrons considérer a et (3 comme des quantités connues.

Reniai quons, pour plus tard, que dans le cas des poulies théoriques, où Ton a

les coefficients deviennent

a = o, fissi«

410. Moufles. — Nous supposerons une moufle dont toutes les poulies soient égales (2<r2). Dès lors a et ,3 seront les mêmes pour toutes et la relation des tensions de deux brins consécutifs pourra s'écrire

Ta+i = a H- p T*.

C'est une équation aux différences finies linéaire et à coefficients constants qu'il faut intégrer.

Je poserai d'abord pour cela, en désignant par A une constante indéterminée,

Il vient en substituant

Profitons de l'indéterminée pour faire disparaître toutes

les constantes en posant

L'équation deviendra ainsi

C'est celle d'une progression géométrique d'où l'intégrale générale

T,= CfJ'^ —

C désigne dans cette intégrale une constante arbitraire, et môme une fonction périodique d'après la théorie des équations aux différences finies.

Mais dans la question actuelle C doit prendre une valeur déterminée. Pour la trouver, exprimons l'équilibre de la chape inférieure. Elle est sollicitée d'un côté par la résistance Q, et de l'autre par toutes les tensions. On a donc

Q = T. -f- T, -h T, -+- . . . 4- T, , si n désigne le nombre des brins ou des poulies,

Q = 7^ft -+-C(i-hpH-p,-h...-t-P"-' ), i — p

On en déduit

et

T,= -l- + "-P)Q-"ttp'.

Si nous appliquons cette formule à la dernière poulie pour laquelle la tension T„ n'est autre que la puissance P, nous aurons :

Telle est la relation de la puissance à la résistance. On remarquera qu'elle est encore de la même forme :

On peut vérifier cette formule pour le cas de l'absence des résistances passives (408). En faisant d'abord

il reste

P=ÊliZLÊ>Q,

puis, en posant (3 = i et faisant disparaître l'indétermination.

p p'd-pn o r/ip"-(î-p)— 1 i

Q L i-P J. « L -"P— Jfï'

ce qui est en effet la formule des moufles théoriques (201).

411. Trains de moujîes. — Si nous supposons un train (203) composé de moufles semblables, a! et j5' seront les mêmes pour toutes et la relation des tensions des deux cordes extrêmes qui sollicitent chaque moufle sera

Nous en déduirons comme ci-dessus

Pour déterminer la constante, nous remarquerons que le brin de rang zéro subit directement la résistance Q. Donc

43o ÉTUDE DYNAMIQUE DES MECANISMES.

et par suite

Comme du resle le dernier brin de rang fit exerce directement la puissance P, on a

c'est-à-dire

a'(i — fi''»)

expression qui'est encore elle-même de la forme

P = a"-fp"Q.

Si, pour vérifier, nous faisons de nouveau abstraction des résistances, il nous faudra faire, d'après < e qui précède ( 410),

il vient ainsi

ce qui concorde avec le résultat que nous avons trouvé (203) pour le rapport des^vilesses virtuelles.