SI- LOIS DU FROTTEMENT DES FLUIDES
4J2. Si un élément superficiel se déplace dans un milieu fluide, son mouvement peut se décomposer en deux au 1res, suivant la normale et une tangente de la surface. Chacun de ces modes de mouvement comporte une résistance spéciale. Celle que développe le mouvement tangentiel s' appelle frottement des fluides, et celle qui s'oppose à la pénétration normale résistatice des milieux.
Le frottement des fluides a été étudié par d'Aubuisson, Couplet, Bossut, Dubuat, Prony, Eytelwein, Darcy, et MM. de Saint-Venant, Dupuît, Tadini, Bazin (i863). Ses lois sont assez bien connues pour le cas du mouvement dans les tuyaux. Il y aurait sans doute témérité à les étendre d'une manière absolue à toute espèce de circonstances, • cependant elles donnent alors au moins une idée de la manière dont les choses se passent.
413. Dans l'écoulement de 1 eau au sein d'un tuyau, on ne peut admettre que la masse fluide s'avance d'un mouvement de translation. Une première pellicule liquide reste à peu près immobile au contact de la paroi, qu'elle continue en effet à mouiller lors même que le tuyau s'est entièrement vidé. Une couche concentrique frottant sur
43a ÉTUDE DYNAMIQUE DES MÉCANISMES.
cette pellicule, et non plus sur la surface solide elle-même, reprend plus facilement de la vitesse. Une troisième gagnera encore de l'avance sur celle-ci, et ainsi de suite jusque dans la région centrale où se trouveront les filets les plus rapides. Nous appellerons vitesse moyenne une vitesse telle, que si toute la niasse liquide en était animée, la même quantité passerait encore dans une section quelconque du tuyau dans le même temps.
Lorsqu'au lieu d'un tuyau on considère un canal à ciel ouvert, le filet de plus grande vitesse V se trouve sur la surface et au milieu de la largeur. On peut mesurer s.*» rapidité au moyen d'un flotteur ('). La vitesse moyenne v s'y trouve alors reliée par une formule empirique déduite par Prony des expériences de Dubuat :
son application numérique se réduit sensiblement à diminuer la vitesse maximum du cinquième de sa valeur.
M. Bazin a proposé de remplacer cette formule par une autre dans laquelle i désigne la pente par mètre courant et p le rayon moyen ou le rapport de Taire de la section à son périmètre mouillé,
414. La masse étant liquide, on ne saurait réduire à une seule force l'ensemble des actions de la paroi ; mais on peut imaginer la somme de ces actions langenlieiles pour la désigner sous le nom de frottement. Ce sera du reste, si l'on veut, la réaction exercée par l'écoulement sur le tuyau qui
(«) 1! semble cependant que les filets intérieurs possèdent une vitesse supérieure à celle de la turface. On a observé notamment que les bateaux qui ont un certain tirant d'eau descendent les rivières plus vite que des corps légers.
RÉSISTANCES DES FLUlDtS. 4^3
est un corps solide et se prête à celle réduction. Les lois qui régissent cette force sonl comprises dans les trois propositions suivantes. On remarquera comme une circonstance singulière qu'elles sont sur tous les points L'inverse des lois trouvées pour les solides (3i6) :
Le froltementest indépendant de la pression du fluide. Le frottement esl proportionnel à la surface de contact. Le frottement est fonction de la vitesse moyenne.
D'après cela, le frottemeni pourra s'exprimer de la manière suivante, eu désignant par S la surface mouillée,
Mais il reste à connaître celte fonction.
415. M. de Prony a déduit des expériences de Couplet, Bossut et Dubuat la formule
avec les coefficients suivants :
Eau, tuyaux.
Eau, canaux.
Air, tuyaux.
a = 0,o44<> oc = Ot024o a =z 0,0000
f =o,348 P = o,2So p =5 0,343 p = 0,309 p SB o , 3(>6
Prony.
Kytclwein.
D'Aiibuisson.
Prony.
Eytelvrein.
Nuvier.
M. deChczy (1775) et, depuis, M. de Saint- Venant ont proposé d'autre part la formule monôme
ni —
Saint-Venant.
Dupuit.
Saint-Venant.
Tadini.
Navier.
434 RTtJOB DYNAMIQUE DES MÉCANISMES.
avec les valeurs suivantes :
Eau, tuyaux. / = o , 29557
Eau, canaux. o, 40102
Air, tuyaux. o,355oo
■416. Des expériences de Darcy ont montré que les formules précédentes présentaient une lacune importante, en ce que la forme de la paroi doit être prise en considération. Si on y introduit le rayon moyen p ( 413), les coefficients de la fonction de Prony devraient être modifiés de la manière suivante :
0,00000376 a=ro,o32H — i
fi = 0,445 H — -,
pour des tuyaux neufs, ces valeurs s'atténuant peu à peu suivant l'état des surfaces et pouvant être réduites à
après quelque temps d usage.
M. Darcy a en effet constaté que non-seulement la forme, mais encore la nature des parois, exerce une influence considérable. La fonte neuve développe un frottement une fois et demie plus grand que le bitume. Les dépôts spontanés des eaux arrivent aussi à doubler la valeur du frottement de la fonte neuve.
Les expériences de Darcy ont été reprises et continuées par M. Bazin. Cet ingénieur réduit la fonction de la vitesse à un terme proportionnel au carré, mais il introduit. d'après les vues de Darcy, un terme qui dépend du rayon moyen
Les valeurs de ces coefficients sont, pour les canaux à ciel ouvert et suivant le degré de rugosité des parois :
Parois très unies (').. . 7 = 0,01 e = o,o3.
Parois unies ('J 7 = 0,19 -=0,07.
Parois peu unies ( 3 ).. . 7 = 0,-24 f = o,«5.
Parois en terre 7=0,58 1 = 1 , a5.
EXEMPLES
417. Obturateurs. — Considérons l'écoulement permanent d'un liquide dans un tuyau cylindrique incliné. La même quantité de liquide doit passer dans toutes les sections, puisque le régime est permanent, et toutes les sections sont égales, de sorte que la vitesse est uniforme dans chaque filet. L'accroissement de la quantité de mouvement projetée sur la direction du tuyau est donc nulle pour la masse renfermée entre deux sections séparées par la distance /. Par suite, la somme des projet lions de toutes les forces extérieures doit être nulle pour celte même direction. Ënumérons ces forces.
En premier lieu, le poids. Si À est Taire de la section, kl est le volume et u kl le poids du liquide, en désignant par ex son poids spécifique. Pour le projeter sur l'axe du tuyau, il faut le multiplier par le cosinus de l'angle du tuyau avec la verticale. Mais le produit de / par ce cosinus sera sa projection verticale z — 2', si z et z' désignent les altitudes des extrémités. La projection du poids est donc « A (z — z').
En second lieu, les pressions d'amont et d'aval PA et P'A, qui se projettent en vraie grandeur, dounerout le terme (P — F) A.
(') Ciment li>sc, bois raboté arec soin, etc.
(') Pierre 4c taille, brique, planches, ciment n:élan(jc de sable, etc. {') Maçonnerie de moellon peu unie.
Quant aux pressions des parois, elles sont normales, si l'on inet«i part le flottement, et n'ont pas île projection.
A A Enfin lu frottement Sf(t>) ou - tf '(v)i puisque - représente le périmètre de la section ( 413). On aura donc l'équation
nAts-s'J + lP-P'jA-y/tO^O, qui peut s'écrire
\0 / \CT / tip
Or - est la hauteur piézométrique de la pression d'amont;
^ + : est donc l'élévation du niveau piézométrique audessus du plan de comparaison. Le premier membre exprime par suile la différence de ces niveaux ou la charge. Mais toute la charge est perdue pour l'accélération, puisque le mouvement est uniforme. La perle décharge par unité de longueur s'obtiendra donc en supprimant le facteur /, ce qui donne
dp
Si par exemple nous supposons, comme dans la lampe modérateur (259), un tuyau de rayon R et uu obturateur de i ayou r, ou a
/?=2tr(R-r.r), A=*(R'— r>),
et la perte de charge devient, en désignant par e l'épaisseur R — r,
elle est donc en raison inverse de cette épaisseur. Tel est
RÉSISTANCES DES FLUIDES. tf')
le principe des obturateurs (258), qui consiste à forcer un liquide à se mouvoir dans uu espace élroil et sur une grande longueur pour détruire du travail. Par là, en clîet, la perte par mètre augmente, comme nous venons de le voir, et si on l'exerce sur une longueur notable, son eilet devient d'autant plus sensible.
418. Projectiles. — Le mouvement des projectiles est influencé d'une manière tic-i-notable par la présence de l'atmosphère. Pour ne parler ici (pie du frottement, il expose le mobile à des déviations de la direction première, comme il est facile de le comprendre.
Supposons d'abord, comme cas simple, une spbèrc homogène animée d'une rotation autour de la tangente sur laquelle se meut actuellement sou centre* Les \ itesses seront symétriquement réparties autour de cette dioitc. Les frottements étant fonction de la vitesse (414) se répareront eux-mêmes d'une manière symétrique et pourront par suite être réduits à un couple dont le plan soit perpendiculaire à Taxe. Il est évident d'ailleurs qu'en raison de la symétrie du projectile la lésisiance à la pénétration donnera une force suivant l'axe. Indu, d'après celle symétrie même, celte droite est un axe principal cenlial d'inertie, La Dynamique générale enseigne que dans ces conditions l'axe est permanent, et que la rotation continue à s'elleeluer autour de lui. Le mouvement du centre considéié comme réel i ligne n'esi, du reste, pas dévié par une foi ce située dans sa direction et ne subit aucune influence d'un couple quel qu'il soil. Par suite, les conditions du mouvement tendront à rester les mêmes: et si aucune entre cii constance n'inte» venait, le mobile devrait atteindie le but.
Supposons au contraire le projectile animé d'une rotation autour d'un axe différent de la vitesse de son centre. La composition des vitesses de translation et de rotation
ne s'accomplira plus d une manière symétrique. Les frottements, qui sont fonctions de la vitesse (414), ne donneront donc plus un couple perpendiculaire à la direction du mouvement, mais généralement, comme tout système de forces, un couple et une résultante. Dès lors la rotation s'effectuera autour d'axes variables. De plus, le centre, qui se meut sous l'action directe de toutes les forces extérieures, éprouvera une déviation de la part de la résultante des frottements, de sorte que le mobile n'atteindra plus le but.
C'est donc dans les premières conditions qu'il faut placer le projectile. Pour y arriver, on le munit d'ailettes engagées dans tics rainures pratiquées à la paroi de l'âme de la pièce, suivant un arc d'hélice. Le mobile ne peut plus des lors acquérir une vitesse de translation suivant Taxe de la pièce, sans prendre en même temps une rotation autour de cette droite. Tel est, pour le réduire à sa plus simple expression, le principe de l'emploi des armes rayées.
§ III
