TRACTION

432. Préliminaires. — Il nous reste à aborder un dernier ordre de considérations (' ) pour déterminer les dimensions qu'il est né< essaiic du donner aux pièces, afin d'éviter qu'elles ne rompent sous lus efforts qu'elles sont appelées à transmettre, ou qu'elles n'en éprouvent dans leur forme ou leur structure moléculaire une altération notable.

La voie la plus naturelle consisterait dans l'emploi de la théorie mathématique de l'élasticité. Mais cette partie de la Mécanique, quoique fort élégante, ne se prutc encore qu'au prix de grandes difficultés d'analyse à l'élude dus* cas les plus simples. D'autre p.^rt, si l'on remarque (pie, quand bien même on parviendrait à trouver la valeur rigoureuse dus dimensions théoriques, on s'empresserait cependant d'y ajouter un appoint considérable pour faire la part des circonstances imprévues, il devient évident qu'il suffira d'obtenir une limite inférieure de ces dimensions. La ques-

(') La théorie de la résistance des matériaux, fondée sur les méthodes d 'approximation, a reçu «le grands développements, en ce qui concerne les constructions fixes. Je nie bornerai ici aux indications qui se rapportent speciulement aux pièces de machines.

• résistance" dks M.vrénijtux. 45 1

tion change» alors tout à fait de nalnrc, et des méthode* approximatives, diriges avec le soin convenable, rempliront parfaitement le but.

433. Formule théorique* *~ Le ras le pins simple est celui d'une pièce prismatique, sollicitée suivant sa longueur par une force F qu'elle tient en équilibre par ses réactions moléculaires. Nous chercherons donc en premier lieu la relation de la tension F â>ux éléments de la tige, à savoir : sa section À, sa longueur / dans l'état naturel, et son allongement variable jr.

Si nous imaginons deux liges identiques accolées Tune à l'autre, elles développeront deux forces égales F. Si donc on les réunit en une seule de section 2A, les deux forces se réduiront de leur côté à une seule égale a iV. On voit dès lors, en étendant ce raisonnement d'une manière générale, que la tension sera proportionnelle à Taire de la section.

Si, d'un autre tôlé, à l'cxtieinilé d'une première lige, nous en adaptons uneaulre pamileen négligeant l'influence de son poids, on pourra les cou i léier c anime ne formant qu'une seule lige dont la longueur natuiclle serait 2/. La tension de la seconde lige, à son origine, permet alors de supprimer la force F qui était directement appliquée à la première, de sorte qu'il ne ic.le quuue seule force F. Mais la longueui naturelle est devenue 2/ et l'allongement

total 2-r; leur rapport n'a pas changé, et est encore

Ainsi, quand ce rapport reste constant, la force ne \aiie pas non plus. 11 est clair du reste que si l'on déterminait un

autre allongement -, il faudrait aussi modifier l'effort»

et par conséque nt cette force est une fonction de On peut donc écrire

45a ÉTUDE DYNAMIQUE DES MÉCANISMES.

Si nous développons celle fonclion inc onnue par la formule de Mac Laurin, qu'on peut toujours invoquer pour les faibles allongements, il viendra

Mais la force étant nulle dans l'état naturel, on doit avoir f(o) = o et la série ne commence qu'au terme du premier degré. Nous pouvons donc, en nous bornant aux faibles déformilions, les seules que la pratique puisse admettre, négliger les termes d'ordre supérieur et écrire simplement

(i) F=EA~,

en désignant par E le facteur constant qu'on appelle coefficient d'élasticité.

43 i. Lorsque la tige sera sollicitée en divers points par plusieurs forces F', F", Fw,...., sou état variera d'une mante rj discontinue en chacun de ces points, et la formule deviendra pour chaque segment

le signets 'étendant seulement à toutes les forces qui sont

appliquées au delà du segment, sans faire aucune acception de celles qui sont situées en deçà.

Lu fatigue de la pièce, si on la mesure par rallongement proportionnel, sera d'après cela

EA

Elle diminue donc à partir de l'encastrement k mesure qu'on franchit le point d'application de chacune des forces. On peut alors diminuer la section d'une manière correspondante : c'est ce qui arrive, par exemple, pour les maitresses tiges des répétitions de pompes dans les mines.

435. On peut évaluer, à l'aide de celle formule, le travail nécessaire pour la compression d'un ressort. Ce sera évidemment

Si donc i désigne la limite d'allongement proportionnel jusqu'à laquelle la formule peut cire employée sans erreur sensible et la matière défoi mée sans inconvénient, le maximum du travail que pourra supporter le ressort sera

-EAi'/,

OU

si V désigne le volume du ressort.

Comme la demi-variation de force vive est égale au travail développé, on voit que la force vive que Ton pourra détruire par l'intermédiaire d'un tampon de choc (284) aura pour valeur

L'efficacité d'un tampon est donc proportionnelle à son volume.

■4.36. Données expérimentales. — Les considérations que nous avons employées ne peuvent être prises que comme des aperçus propresâ nous guider vers la forme analytique ( i ) de la relation cherchée; mais celle formule ne doil être acceptée que sous le contrôle de l'expérience. Indiquons ce que l'observation nous a appris à cet égard.

M. Eaton liodgkinsou a étudié les déformations que subit une tige de fer sous l'action de poids croissants que Ton soutient pendant l'allongement, de manière à éviter la

production de force \ivc, qui changerait < empiétement le phénomène On distingue dans l'allongement lolaj

une première partie, qu'on appelle élastique^ eX qui disparaît quand la tii^e est abandonnée n elle-même, et, en outre, la partie permanente, qui subsiste en raison du défaut d'élasticité. En calculant d'après ce s éléments la valeur de F, qui devrait être une constante absolue d'après la théorie précédente, M. Hodçkiuson a formé le tableau suivant :

ALLOHUINFSK Pl OPOETIO^UJ

coi:rricirni F. m apporté

c* «in 11.111*

au Mirni cauae

DE LA tOSi.l l Ull ftAIWKELLC.

tr au ntUMMl,

/ = i5'», A — •35"""flt^.

IfALVÉ i/apbbs l'allo^uemuit:

En kilosr.

par mi'lim carre.

Proportionnelle».

Tola!

Permancn!

r.lastlqao

Total.

FliMlque.

o.oSj

3 , TJ

0, iSj

O.OOO

20 i. IO*

O oo.l '

pgR.lcr*