TORSION

M)\ . Préliminaires. — Considérons encore une pièce de forme prismatique ou cylindrique, sollicitée par un couple dans un plan mené perpendiculairement par sou extrémité. Nous admettrons) comme dans le cas précédent (440), que les tranches se conserveront pendant la torsion, chacune d'elles se mouvant dans sou propre plan et tournant autour d'un certain point d'un angle 0. La succession des points immobiles forme l'axe ou la fibre neutre. Comme chaque tranche se tlévie, en outre, de la même quantité par rapport à la précédente, l'angle de torsion varie proportionnellement à la distance à l'encastrement, et'toutes les fibres rectilignes deviennent des hélices autour de l'axe neutre.

Considérons une fibre de section a. Elle exigera une certaine force transversale F pour maintenir sa forme hélicoïdale. Deux fibres pareilles exigeraient deux forces égales et, en les réunissant par la pensée, nous reconnaîtrons qu'une fibre de section o.a exigera une force 2F, ou, généralement, que la force transversale sera ^proportionnelle à la section.

Une fibre de longueur 1 exigeant la force F, si nous

4~t> ÉTUDE DYNAMIQUE DES MÉCANISMES.

adaptons en prolongement suivant la même hélice une fibre égale, il suffira, pour la maintenir, de transporter celte forée F à son extrémité. Mais la torsion, qui était rO pour l'extrémité de la première, étant aussi / 0 pour celle de la seconde par rapport au point de jonction, sera en tout i r$. La longueur est également devenue 2 /, de sorte que le rap-

port — n'a pas eliangé de valeur. La force et ce rapport res-

tent donc constants ensemble. II est clair, du reste, qu'ils varieront aussi ensemble, ce qui montre que la force est une fonction de ce rapport. On reconnaîtra, du reste, comme ci dessus ( 433), qu'on peut la supposer simplement proportionnelle. Et, par suite, l'expression complète de la tension élastique transverse devient, en désignant par G une constante spécifique,

F = Gr * a.

462. Ces raisonnements, identiques à ceux du § 433, ont encore besoin du contiôle de l'expérience. Elle a, en eflet, montré que la formule se vérifie dans des limites suffisamment restreintes. On peut alors, d'api ès M. Je général Morin, employer, pour le coefficient d'élasticité trausverse, les valeurs suivantes :

Acier fondu G s= 100. io1

Fer en barris G= 67.10»

Cuivre G = 44- l0*

Fonte G =r 10.10*

Bronze . . G = 1 1 . 10»

Bois G= 4*10'

Quant aux coefficients de rupture transverse, ils sont moins b*n n connus que les précédents. Ou admet pour le fer qu'il est les j du coefficient de rupture par extension.

463. Fibre neutre. — Nous pouvons facilement déterminer la position de la Gbre neutre dans le prisme.

En cil et, les forces de torsion formant un roupie à l'extrémité de la pièce, si nous faisons par la pensée une section quelconque, les forces d'élasticité qui sont développées dans cette section devront, pour l'équilibre, former un autre couple. La somme de leurs projections sera donc nulle sur un axe quelconque des jr. Mais l'expression de la force contenant le rayon r, sa projection s'en déduira en remplaçant r par x. On aura ainsi

c'est-à-dire

G ? 2 ax = ° 1

car nous avons reconnu que le rapport - est constant. II reste donc

et comme x est la distance de chaque élément a à un plan mené perpendiculairement à l'axe des abscisses par le point neutre, on voit que ce plan contient le centre de gravité. Il est, du reste, quelconque, et, par suite, le point neutre doit être lui-même ce centre de gravité. Ainsi la libre neutre est encore celle qui contient les centres de gravité de toutes les sections.